Q２ - 整数問題bot②　解答集 - atwiki（アットウィキ）

Q２

$\frac{8n-25}{n+3}$ が有理数の $3$ 乗となるような正の整数 $n$ を全て求めよ.

(2014 ギリシャ数学オリンピック)

[解答]

$n=1,2,3$ はいずれも不適.
$n \geqq 4$ のとき, $8n-25&gt;0,n+3&gt;0$ なので,
条件より $8n-25=ka^3$ ・・・① $n+3=kb^3$ ・・・②
$(k,a,b$ は正の整数 $)$ とおける.
①,②より $n$ を消去して $8(kb^3-3)-25=ka^3$
整理して $8kb^3-ka^3=49$
左辺を因数分解して
$k(2b-a)(4b^2+2ab+a^2)=49$ ・・・③
ここで, $a \geqq 1,b \geqq 1$ より $4b^2+2ab+a^2 \geqq 7$ であり,
③よりこれは $49$ の約数なので
$4b^2+2ab+a^2=7,49$
$(i)4b^2+2ab+a^2=7$ のとき
$4b^2+2ab+a^2=(a+b)^2+3b^2=7$ より
$a+b=2,b=1$
よって $a=b=1$ なので,③より $k=7$ よって①,②より $n=4$
これは $n \geqq 4$ を満たす.

$(ii)4b^2+2ab+a^2=49$ のとき
$4b^2+2ab+a^2=(a+b)^2+3b^2=49$ より
$a+b=1,b=4$
よって $a=-3$ となって, $a&gt;0$ を満たさないので不適.

以上より,求める $n$ は $n=4$

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Ｑ..上記の解答は理解できましたか？

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最終更新：2015年04月30日 13:17

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