整数問題bot②　解答集
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Ｑ５

\frac{a^4+a^3+1}{a^2b^2+ab^2+1}が整数となるような正の整数の組(a,b)を全て求めよ.
(2008 ボスニア・ヘルツェゴビナ数学オリンピック)



[解答]


(i)a<bのとき
a^4<a^2b^2,a^3<ab^2より
a^4+a^3+1<a^2b^2+ab^2+1
よって
0<\frac{a^4+a^3+1}{a^2b^2+ab^2+1}<1なので,
これは整数となりえず,不適.

(ii)a>bのとき
\frac{a^4+a^3+1}{a^2b^2+ab^2+1}が整数ならば,
a^2-\frac{b^2(a^4+a^3+1)}{a^2b^2+ab^2+1}
=\frac{a^2-b^2}{a^2b^2+ab^2+1}も整数となるはずだが,
a^2-b^2>0と
a^2-b^2<a^2<a^2b^2+ab^2+1より
0<\frac{a^2-b^2}{a^2b^2+ab^2+1}<1なので,
これは整数となりえず,不適.

(iii)a=bのとき
常に
\frac{a^4+a^3+1}{a^2b^2+ab^2+1}=1なので,適する.

以上より,求める組は(a,b)=(k,k)(kは任意の正の整数)

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最終更新：2015年02月19日 06:01