整数問題bot②　解答集
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Ｑ３

p^{2q}+q^{2p}=rを満たす素数の組(p,q,r)を全て求めよ.
(2013 マケドニア数学オリンピック)



[解答]

p \geqq 2, q\geqq 2よりr>2なのでrは奇素数.
よってp,qのうち一方が2,他方が奇素数であり,
式の対称性よりp=2としてよい.
このとき与式は2^{2q}+q^4=r
ここで,2^{2q}+q^4
=(2^q+q^2)^2-2^{q+1}q^2
=(2^q+q^2-2^{\frac{q+1}{2}}q)(2^q+q^2+2^{\frac{q+1}{2}}q)であり,
qは奇素数なので
\frac{q+1}{2}は整数.
これと
2^q+q^2+2^{\frac{q+1}{2}}q>0
および2^q+q^2-2^{\frac{q+1}{2}}q<2^q+q^2+2^{\frac{q+1}{2}}qより
2^q+q^2-2^{\frac{q+1}{2}}q=1・・・(☆)
よって2^{\frac{q+1}{2}}(2^{\frac{q-1}{2}}-q)=1-q^2<0より
2^{\frac{q-1}{2}}<qゆえに2^{q-1}<q^2・・・(♡)
ここで,正の整数nに対して
f(n)=\frac{2^{n-1}}{n^2}と定めると,
\frac{f(n+1)}{f(n)}=2(1-\frac{1}{n+1})^2であり,
n \geqq 3のとき
2(1-\frac{1}{n+1})^2 \geqq 2(1-\frac{1}{3+1})^2=\frac{9}{8}>1より
f(3)<f(4)<f(5)< \cdot \cdot \cdot
これと
f(7)=\frac{64}{49}>1より
n \geqq 7においてf(n)>1
このとき2^{n-1}>n^2
よって(♡)が成り立つのはq<7のときなのでq=3,5
このとき,それぞれr=145,1649となるが,これらはいずれも素数でないので不適.
(145=5 \times 29,1649=17 \times 97)
以上より,与式を満たす素数の組(p,q,r)は,ない.

※(☆)以降は,次のようにしてもよい.

(☆)の両辺を \mod \,qでみて,
2^q \equiv 1 \pmod{q}
一方,qは素数なので,フェルマーの小定理より,
2^q \equiv 2 \pmod{q}
よってq=1 となって不適.


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最終更新：2019年08月24日 20:00