整数問題bot②　解答集
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Ｑ４

2^mp^2+1=q^5を満たす正の整数m,および素数p,qを全て求めよ.
(2012 韓国数学オリンピック & 2013 フィンランド数学競技会)



[解答]


与式を変形して
2^mp^2=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)
q^4+q^3+q^2+q+1は常に奇数であり,
また1より大きいから,
pは奇素数で,
q^4+q^3+q^2+q+1=p,p^2
(i)q^4+q^3+q^2+q+1=pのとき
q-1=2^mpとなるが,
q-1<q^4+q^3+q^2+q+1より
2^mp<pとなるので,不適.

(ii)q^4+q^3+q^2+q+1=p^2のとき
与式よりqは奇素数.
q=3のとき,p=11となり,
このときm=1なので,適する.
q \geqq 5のとき,\frac{q-1}{2},\frac{q+1}{2}は
連続する2整数であり,
q^4+q^3+q^2+q+1-(q^2+\frac{q-1}{2})^2
=\frac{7q^2+6q+3}{4}>0と
(q^2+\frac{q+1}{2})^2-(q^4+q^3+q^2+q+1)
=\frac{(q+1)(q-3)}{4}>0より
(q^2+\frac{q-1}{2})^2<p^2<(q^2+\frac{q+1}{2})^2
よって,p^2は連続する2つの平方数の間にあるので平方数になりえず,不適

以上より,求める組は(m,p,q)=(1,11,3)

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最終更新：2015年02月19日 05:51