Ｑ６ - 整数問題bot②　解答集 - atwiki（アットウィキ）

Ｑ６

$p^n-1=m^5+m^4$ を満たす素数 $p$ ,および正の整数$$m,n$を全て求めよ.

自作

[解答]

与式を変形して
$p^n=m^5+m^4+=(m^2+m+1)(m^3-m+1)$
$m^2+m+1$ と $m^3-m+1$ の最大公約数を $g$ とすると, $g$ は
$(m+3)(m^3-m+1)-(m^2+2m-4)(m^2+m+1)=7$
を割り切るので $g=1,7$
$(i)g=1$ のとき
$p$ は素数なので $m^2+m+1=1$ または $m^3-m+1=1$
よって $m=-1,0,1$
$m$ は正の整数なので $m=1$ このとき $p=3,n=1$
$(ii)g=7$ のとき
$p=7$ であり, $m^2+m+1=7$ または $m^3-m+1=7$
よって $m=-3,2$
$m$ は正の整数なので $m=2$ このとき $n=2$
以上より,求める組は $(p,m,n)=(3,1,1),(7,2,2)$

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最終更新：2020年02月16日 09:04

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