Ｑ７ - 整数問題bot②　解答集 - atwiki（アットウィキ）

Ｑ７

$ad-bc=1,ac+bd=72$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c,d)$ を全て求めよ.

(自作)

[解答]

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2$ より,
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1^2+72^2=5185=5 \cdot 17 \cdot 61$
ここで, $a^2+b^2&gt;1,c^2+d^2&gt;1$ であり,
$(a,b)$ と $(d,c)$ を入れ替えても与式は変わらないので,
$a^2+b^2=5,17,61$ としてよい.
$(i)a^2+b^2=5$ のとき
$(a,b)=(1,2),(2,1)$ であり,それぞれ与式に代入して
$c,d$ の連立方程式を解いたとき, $c,d$ が正の整数となるのは
$(a,b,c,d)=(1,2,14,29)$
$(ii)a^2+b^2=17$ のとき
$(a,b)=(1,4),(4,1)$ であり, $(i)$ と同様にして $(a,b,c,d)=(1,4,4,17)$
$(iii)a^2+b^2=61$ のとき
$(a,b)=(5,6),(6,5)$ であり, $(i)$ と同様にして $(a,b,c,d)=(6,5,7,6)$
以上より,求める組は, $(a,b)$ と $(d,c)$ の入れ替えを含めて,
$(a,b,c,d)=(1,2,14,29),(1,4,4,17),(6,5,7,6),$

$(29,14,2,1),(17,4,4,1),(6,7,5,6)$

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最終更新：2022年12月06日 21:06

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