Ｑ８ - 整数問題bot②　解答集 - atwiki（アットウィキ）

Ｑ８

ちょうど $2002$ 個の相異なる正の整数からなる集合であって,その $1$ 個以上の要素の和が決して累乗数にならないようなものが存在することを示せ.

(2002 ブラジル数学オリンピック)

[解答]

より一般に,任意の正の整数 $n$ に対して,ちょうど $n$ 個の相異なる正の整数からなる集合であって,その $1$ 個以上の要素の和が決して累乗数にならないようなものが存在することを示そう.

素数は無限に存在するから,
$\sum_{k=1}^{n}k<p$ を満たす素数 $p$ が存在する.
そのような $p$ を任意に1つとり,集合 $S$ を
$S=\{kp \mid k$ は整数, $1 \leqq k \leqq n\}$ と定める.
この $S$ が題意を満たす集合であることを示す.
まず, $S$ は相異なる $n$ 個の正の整数からなる.
また, $S$ の任意の空でない部分集合を $A$ とし,
$A$ の要素の総和を $\mid A \mid$ とおく.
$S$ の要素は全て $p$ で割り切れるので,
$\mid A \mid$ も $p$ で割り切れるが,
$p$ の定め方より
$0< \mid A \mid \leqq \sum_{k=1}^{n}kp =p\sum_{k=1}^{n}k <p^2$ なので,
$\mid A \mid$ は $p^2$ で割り切れない.
よって, $\mid A \mid$ を素因数分解したときの $p$ の指数は $1$ であるから,
$\mid A \mid$ は累乗数でない.
以上より示された.

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最終更新：2017年01月27日 18:29

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