整数問題bot②　解答集
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Ｑ９

正の整数nであって,nの相異なる正の約数をうまく4つ選ぶと,その和がちょうどnになるようなものを全て求めよ.
(自作)



[解答]


nの相異なる4つの正の約数は,あるnの正の約数a,b,c,d(a<b<c<d)を用いて,
\frac{n}{a},\frac{n}{b},\frac{n}{c},\frac{n}{d}と表される.
問題の条件より
\frac{n}{a}+\frac{n}{b}+\frac{n}{c}+\frac{n}{d}=n
よって
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1・・・(☆)
(☆)を満たす正の整数の組a,b,c,d(a<b<c<d)を求めよう.
\frac{1}{a}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1よりa>1
また,a \geqq 3と仮定すると,
1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \leqq \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{19}{20}<1となって矛盾.
よってa<3よりa=2
このとき
\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{2}
\frac{1}{2}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}<\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}=\frac{3}{b}より
b<6これと2=a<bよりb=3,4,5
(i)b=3のとき
\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{6}より
(c-6)(d-6)=36
c-6<d-6と3=b<cより
(c,d)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15)を得る.
(ii)b=4のとき
\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{4}より
(c-4)(d-4)=16
c-4<d-4と4=b<cより
(c,d)=(5,20),(6,12)を得る.
(iii)b=5のとき
\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{3}{10}より
(3c-10)(3d-10)=100となるが,
3c-10<3d-10と5=b<cより
これを満たす(c,d)はない.
以上より,(a,b,c,d)=(2,3,7,42),(2,3,8,24),(2,3,9,18),
(2,3,10,15),(2,4,5,20),(2,4,6,12)
ここで,それぞれの組(a,b,c,d)についてa,b,c,dの最小公倍数を求めると,
42,24,18,30,20,12
nが問題の条件を満たすことと,nが上で求めた(a,b,c,d)のいずれかについて,
そのa,b,c,dを全て約数にもつことは同値であるから,
(24の倍数が全て12の倍数であることに注意して,)
求めるnは,12,18,20,30,42のいずれかの倍数である正の整数全てである.

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最終更新：2016年05月01日 05:13