Ｑ１０

$w!=x!+y!+z!$ を満たす正の整数の組 $(w,x,y,z)$ を全て求めよ.

(1969 カナダ数学オリンピック)

[解答]

$x \leqq y \leqq z$ と仮定しても一般性を失わない.
$w \geqq z+2$ と仮定すると,
$(z+2)! \leqq w!=x!+y!+z! \leqq 3 \cdot z!$ より
$(z+1)(z+2) \leqq 3$ となるが,
これを満たす正の整数 $z$ は存在しないので矛盾.
よって $w&lt;z+2$ であり,
$z!&lt;x!+y!+z!=w!$ より
$z&lt;w$ なので $w=z+1$
よって $(z+1)!=w!=x!+y!+z! \leqq 3 \cdot z!$ より
$z+1 \leqq 3$
ゆえに
$z=1,2$
$z=1$ のとき, $w=2$ より $x!+y!=1$ となるが,
これを満たす正の整数 $x,y$ は存在しないので不適.
$z=2$ のとき, $w=3$ より $x!+y!=4$
よって, $x=y=2$
これは $x \leqq y \leqq z$ を満たす.
以上より,求める組は $(w,x,y,z)=(3,2,2,2)$

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最終更新：2022年11月04日 13:32

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