Ｑ１１

各桁にがそれぞれ回ずつ現れるような桁の整数は,そのうちどの相異なるつも一方が他方を割り切らないことを示せ.

(2011 カナダ数学オリンピック)

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[解答]

問題の条件を満たす桁の整数とある整数が存在して,
・・・(☆)が成り立つと仮定する.
よりである.
の各桁の和はともにであるから,
より,
(☆)の両辺を　で見ると,

ここでよりとなるが,
これはがともに桁の整数であることに矛盾.
以上より示された.

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