Ｑ１２

正の整数の組 $(a,m,n) ($ ただし $a,m&gt;1)$ であって, $a^m+1$ が $a^n+203$ を割り切るようなものを全て求めよ.

(2003 中国数学オリンピック)

[解答]

まず, $m>r \geqq 0$ ( $r$ は整数)の範囲で,
$a^m+1$ が $a^r+203$ を割り切るような $(a,m,r)$ を求める.
$a^n+203&gt;0$ より $a^m+1 \leqq a^r+203$ なので,
$202 \geqq a^m-a^r=a^r(a^{m-r}-1) \geqq a^r(a-1)$
よって, $a$ としてありうる値は有限個に絞られ,
その各 $a$ に対して, $r$ としてありうる値も有限個に絞られる.
その候補を順に調べることで,
$(a,m,r)=(2,2,1),(2,3,2),(2,4,0),(4,2,0),(5,2,1)$ を得る.

次に,後で必要になるので, $m>r \geqq 0$ ( $r$ は整数)の範囲で,
$a^m+1$ が $203-a^r$ を割り切るような $(a,m,r)$ を求める.
$203-a^r&lt;0$ と仮定すると $a^r-203&gt;0$ であるが,このとき
$a^m+1&gt;a^r-203$ より
$0<\frac{a^r-203}{a^m+1}<1$ となって,
これは整数になりえない.
よって $203-a^r&gt;0$ より $a^m+1 \leqq 203-a^r$
よって $202 \geqq a^m+a^r=a^r(a^{m-r}+1) \geqq a^r(a+1)$ なので,
上と同様に考えて
$(a,m,r)=(2,6,3),(3,2,1),(8,2,1),(10,2,0)$ を得る.

さて,本題に移る.
$n$ を $m$ で割った商を $q$ ,余りを $r(m>r \geqq 0)$ とする.
$a^n+203 \equiv a^{mq+r}+203 \equiv (-1)^qa^r+203\, \pmod{a^m+1}$ より,
問題の条件は $a^m+1$ が $(-1)^qa^r+203$ を割り切ることと同値.
$(i)q$ が偶数のとき
$(-1)^qa^r+203=a^r+203$ であり,
$q=2k$ ( $k$ は $0$ 以上の整数)とおくと,上で求めたものより
$(a,m,n)=$
$(2,2,4k+1),(2,3,6k+2),(2,4,8k),(4,2,4k),(5,2,4k+1)$ を得る.
$(ii)q$ が奇数のとき
$(-1)^qa^r+203=203-a^r$ であり,
$q=2k+1$ ( $k$ は $0$ 以上の整数)とおくと,上で求めたものより
$(a,m,n)=(2,6,12k+9),(3,2,4k+3),(8,2,4k+3),(10,2,4k+2)$ を得る.
以上より,求める組は
$(a,m,n)=$
$(2,2,4k+1),(2,3,6k+2),(2,4,8k),(4,2,4k),(5,2,4k+1),$

$(2,6,12k+9),(3,2,4k+3),(8,2,4k+3),(10,2,4k+2)$

( $k$ は $0$ 以上の整数)

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最終更新：2025年01月17日 03:35

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