Ｑ１３

$3$ より大きな整数 $n$ であって, $1+_nC_1+_nC_2+_nC_3$ が $2^{2000}$ を割り切るようなものを全て求めよ.

(1998 中国数学オリンピック)

[解答]

$1+_nC_1+_nC_2+_nC_3$
$=1+n+\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$
$=\frac{(n+1)(n^2-n+6)}{6}$
これが $2^{2000}$ を割り切ることと,
$(n+1)(n^2-n+6)$ が $6 \cdot 2^{2000}$ を割り切ることは同値.
$n+1$ と $n^2-n+6$ の最大公約数を $g$ とすると,
$g$ は $n^2-n+6-(n-2)(n+1)=8$ を割り切る.
よって $n+1$ と $n^2-n+6$ のうち少なくとも一方は
$1,2,4,8,3,6,12,24$ のいずれかでなければならない.
$n&gt;3$ より $n+1&gt;4,n^2-n+6&gt;12$ に注意して順に調べると,
$n=7$ のとき $n+1=8,n^2-n+6=48$
$n=23$ のとき $n+1=24,n^2-n+6=512$
となって,問題の条件を満たすことがわかる.
以上より,求める $n$ は $n=7,23$

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最終更新：2020年02月04日 08:35

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