Ｑ１４

$2$ より大きな整数 $n$ であって, $1991$ が $199 \cdot \cdot \cdot991$ ( $9$ は $n$ 個)を割り切るようなものが存在することを示せ.

(1991 ブラジル数学オリンピック)

[解答]

$0$ 以上の整数 $m$ に対して,
$a_m=199 \cdot \cdot \cdot 991$ ( $9$ は $m$ 個)
$b_m=199 \cdot \cdot \cdot 998$ ( $9$ は $m$ 個)と定める.
整数を $1991$ で割った余りとしてありうる値は高々 $1991$ 通りであるから,
$a_0,a_1,a_2, \cdot \cdot \cdot$ の中には
$1991$ で割った余りが等しいものが存在する.
そのようなもののうち任意の $2$ つを $a_k,a_l (0 \leqq k<l)$ とする.
このとき,
$a_l-a_k=199 \cdot \cdot \cdot 99800 \cdot \cdot \cdot 00$ ( $9$ は $l-k-1$ 個, $0$ は $k+1$ 個)
$=10^{k+1}b_{l-k-1}$ は $1991$ で割り切れ,
$10^{k+1}$ と $1991$ は互いに素なので
$b_{l-k-1}$ が $1991$ で割り切れる.
よって $10^3b_{l-k-1}+1991=a_{l-k+2}$ は $1991$ で割り切れる.
また, $k&lt;l$ より $l-k+2&gt;2$ である.
よって $n=l-k+2$ が問題の条件を満たす.
以上より示された.

アンケート(任意でお答えください)
Ｑ..上記の解答は理解できましたか？

bot主の今後の解答作成の参考に致します。

「Ｑ１４」をウィキ内検索

最終更新：2018年12月29日 13:31

選択肢	投票
YES (3)
NO (0)

整数問題bot② 解答集

Ｑ１４

[解答]

整数問題bot②　解答集