Ｑ１５

$k! \cdot l!=k!+l!+m!$ を満たす正の整数の組 $(k,l,m)$ を全て求めよ.

(2005 クロアチア数学オリンピック)

[解答]

以下,正の整数 $a,b$ に対して, $a$ が $b$ を割り切ることを $a \mid b$ ,
$a$ が $b$ を割り切らないことを $a \nmid b$ と表す.
$k \leqq l$ と仮定しても一般性を失わない.このとき $k! \mid l!$ であるから,
与式より $k! \mid m!$ よって $k \leqq m$
$(i)k \leqq m \leqq l$ のとき
$m! \mid l!$ であるから,与式より $m! \mid k!$ よって $m \leqq k$
$k \leqq m$ と合わせて $k=m$
また, $k! \cdot l!=k!+l!+m! \leqq l!+l!+l!=3 \cdot l!$ より $k=1,2$
$k=1$ のとき, $m=1$ より $l!=l!+2$ となって不適.
$k=2$ のとき, $m=2$ より $l!=4$ となって不適.

$(ii)k \leqq l <m$ のとき
$l! \mid m!$ であるから,与式より $l! \mid k!$ よって $l \leqq k$
$k \leqq l$ と合わせて $k=l$
このとき $k!(k!-2)=m!$ ・・・(☆)
$k \leqq 2$ のとき, $k!(k!-2) \leqq 0,m!>0$ より不適.
$k=3$ のとき, $l=3$ および $m=4$ となって,よい.
$k \geqq 4$ のとき,(☆)を変形して
$k!-2=\frac{m!}{k!}$
$k&lt;m$ よりこの右辺は整数.
$m \geqq k+4$ と仮定すると $4 \mid \frac{m!}{k!}$ であるが,
$k \geqq 4$ より $4 \mid k!$ なので $4 \nmid k!-2$ となって矛盾.
よって $m&lt;k+4$ であり, $k&lt;m$ と合わせて $m=k+1,k+2,k+3$
$(a)m=k+1$ のとき,(☆)より $k!-2=k+1$
両辺を $\mod k$ で見て $-2 \equiv 1\, \pmod{k}$
よって $k \mid 3$ これは $k \leqq 4$ を満たさない.
$(b)m=k+2$ のとき, $(a)$ と同様にして $k \mid 4$
$k \geqq 4$ より $k=4$ このとき $m=6$ となるが,
これは(☆)を満たさないので不適.
$(c)m=k+3$ のとき, $(a)$ と同様にして $k \mid 8$
$k \geqq 4$ より $k=4,8$ このときそれぞれ $m=7,11$ となるが,
これらはいずれも(☆)を満たさないので不適.

以上より,求める組は $(k,l,m)=(3,3,4)$

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最終更新：2015年04月14日 23:03

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