Ｑ１６

各桁の和が $2011$ である平方数が存在することを示せ.

(2011 フィンランド数学競技会)

[解答]

$(10^{223}-3)^2$
$=10^{446}-6 \cdot 10^{223}+9$
$=99 \cdot \cdot \cdot 99400 \cdot \cdot \cdot 009$ ( $9$ が $222$ 個, $0$ が $222$ 個)
であり,その各桁の和は $9 \cdot 223 +4=2011$
よって $(10^{223}-3)^2$ が問題の条件を満たす平方数である.

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最終更新：2024年03月21日 10:26

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