Ｑ１８

各桁が全て $2$ か $5$ である $2005$ 桁の正の整数であって, $2^{2005}$ で割り切れるようなものがただ一つ存在することを示せ.

(2005 クロアチア数学オリンピック)

[解答]

各桁が全て $2$ か $5$ である $2005$ 桁の正の整数全体の集合を $S$ とする.
$S$ の異なる $2$ 元を $a,b$ とする.
$a \neq b$ であるから, $1 \leqq k \leqq 2005$ である正の整数 $k$ であって,
$a,b$ の下から $k$ 桁目が異なるようなものが存在する.
そのような $k$ のうち最小なものをとる.
このとき, $a,b$ の下から $k$ 桁目より下の数字は全て等しいから,
$a-b$ は下から $k$ 桁目が $3$ または $7$ で,
それより下の数字が全て $0$ の整数である.
よって,ある奇数 $d$ を用いて,
$a-b=d \cdot 10^{k-1}$ と表せる.
ここで $k-1 &lt;2005$ であるから, $a-b$ は $2^{2005}$ で割り切れない.
よって, $S$ の元を $2^{2005}$ で割った余りは全て相異なる.
一方, $S$ の元の個数は $2^{2005}$ であるから,
$S$ の元であって, $2^{2005}$ で割り切れるものがただ一つ存在する.
以上より示された.

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最終更新：2022年09月15日 16:22

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