Ｑ１９

正の整数 $n$ であって, $2^{n-1}n +1$ が平方数であるようなものを全て求めよ.

(2005 グルジア数学オリンピック)

[解答]

$n=1$ は不適.
以下, $n \geqq 2$ とする.
$2^{n-1}n +1=a^2$ ( $a$ は正の整数)とおくと,
$n \geqq 2$ より $a \geqq 2$ であり,
$2^{n-1}n=(a+1)(a-1)$
ここで, $(a+1)(a-1)$ は $2^{n-1}$ で割り切れるが,
$a+1-(a-1)=2$ なので,
$a+1$ と $a-1$ がともに $4$ で割り切れることはない.
よって,これらのうち一方は $2^{n-2}$ で割り切れ,
いずれにしても $a+1 \geqq 2^{n-2}$ が成り立つ.
このとき $2^{n-1}n =(a+1)(a-1) \geqq 2^{n-2}(2^{n-2}-2)$ より
$n \geqq 2^{n-3}-1$ すなわち $n+1 \geqq 2^{n-3}$ ・・・(☆)
ここで, $n \geqq 6$ において $n +1<2^{n-3}$ が成り立つことを、
$n$ に関する帰納法で示す.
$n=6$ のときは, $7&lt;8$ よりよい.
$n=k$ で成り立つと仮定する.
$n=k+1$ のとき,
$2^{(k+1)-3}=2 \cdot 2^{k-3}>2(k+1)>(k+1)+1$ より成り立つ.
ゆえに示された.
よって,(☆)が成り立つのは $n \leqq 5$ のときである.
$n=2,3,4,5$ の場合を順に調べることで,
$n=5$ のとき, $2^{n-1}n +1=9^2$ となって
適することがわかる.
以上より,求める $n$ は $n=5$

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最終更新：2022年03月20日 14:28

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