Ｑ２０

$a,b,c$ を正の整数とする.
$\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$ と
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ がともに整数ならば, $a=b=c$ であることを示せ.

(けんけん問題を参考に作成)

[解答]

$\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2b+c^2a+b^2c}{abc}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}$ である.
素数 $p$ を任意に $1$ つとる.
以下,正の整数 $n$ に対して, $n$ を素因数分解したときの $p$ の指数を
$ord_pn$ と表す.
$ord_pa=s,ord_pb=t,ord_pc=u$ とおく.
問題の式は $a,b,c$ について巡回的であるから,
$s \leqq t \leqq u$ または $s \leqq u \leqq t$
が成り立つと仮定しても一般性を失わない.
$s \leqq t \leqq u$ のとき,
$ord_pa^2b=2s+t,ord_pc^2a=s+2u,ord_pb^2c=2t+u,$
$ord_pabc=s+t+u$ であるが,
$s \leqq t\leqq u$ より $ord_pc^2a \geqq ord_pabc,ord_pb^2c \geqq ord_pabc$ なので,
$\frac{a^2b+c^2a+b^2c}{abc}$ が整数となるためには
$ord_pa^2b \geqq ord_pabc$ でなければならない.
よって $2s+t \geqq s+t+u$ より $s \geqq u$
これと $s \leqq t \leqq u$ を合わせて $s=t=u$ を得る.
また, $s \leqq u \leqq t$ のときも同様に考えて $s=t=u$ を得る.
以上のことが任意の素数 $p$ に対して成り立つので,
$a=b=c$ である.

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Ｑ..上記の解答は理解できましたか？

bot主の今後の解答作成の参考に致します。

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最終更新：2015年03月25日 10:34

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