あいう

正の整数 $k$ に対して, $k$ の正の約数の個数を $d(k)$ と表す.
このとき,任意の正の整数 $n$ について,
$\sum_{k=1}^n d(k) \leqq n \log n+n$
が成り立つことを示せ.

$xy$ 平面上において,
$y \leqq \frac{n}{x}\,,\,0<x \leqq n\,,\,0<y \leqq n$
を満たす点 $(x,y)$ 全体からなる領域を $S$ とする.
このとき, $S$ に含まれる格子点全体の集合と,
曲線
$y=\frac{k}{x}(x>0)\,\,(k=1,2, \,\cdot \cdot \cdot \,,n)$
上にある格子点全体の集合は一致する.
各 $k$ について,曲線
$y=\frac{k}{x}(x>0)$
上にある格子点の個数は $d(k)$ なので,
$S$ に含まれる格子点の個数は
$\sum_{k=1}^n d(k)$ である.
ここで, $S$ に含まれる各格子点 $(a,b)$ について,
$a-1<x \leqq a\,,\,b-1<y \leqq b$ を満たす
点 $(x,y)$ 全体からなる面積 $1$ の図形は $S$ に含まれ,
またそれらの図形はどの相異なる $2$ つも共有点をもたない.
よってそれらの図形の面積の和は $S$ の面積以下であるから,
$\sum_{k=1}^n d(k) \leqq \int_1^n \frac{n}{x} \,dx+n=[n \log x]_1^n+n=n \log n+n$
以上で示すべき不等式が得られた.(終)

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最終更新：2015年03月21日 06:49

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