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Taylorの定理

xの関数f(x)を、xのベキ級数a_0+a_1x+a_2x^2+\cdotsで表すと、どのようになるか？このようなことはテイラーの定理から計算できます。テイラーの定理を使うと、よく分からない関数がベキ級数という分かりやすい関数で近似できたり、複雑な曲面を平面や二次曲面といった単純な曲面の組み合わせで表せたり、また微小量hだけ離れた地点の値f(x+h)を、元の地点のfとhのベキ級数で表せるため、これは大変便利でありまた基本的な定理です。

さて、テイラーの定理を厳密に証明することは、もちろん大切なことですが、忘れてしまったときに、思い出せることもまた大切です。そこで、テイラーの定理を忘れてしまったとして、fをxのベキ級数でとりあえず仮置きしてみます。
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots
ここでx=0とおくと、a_0=f(0)が分かります。また、一度xで微分した、f^{\prime}(x)=a_1+2a_2x\cdots+na_nx^{n-1+\cdots}においてx=0とおくと、a_1=f'(0)が分かります。同様に、微分して代入を繰り返すことにより、a_k=f^{k}(0)/k!が分かります。つまり、
f(x)=f(0)+f'(0)x+f^{2}(0)/2!x^2+\cdots+f^{n}(0)/n!x^n+\cdots
と予想ができます。

今の場合は、x=0周りでのベキ級数展開でしたが、x=a周りでの展開はどのようになるでしょう。これは、
f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\cdots+a_n(x-a)^n+\cdots
とおいて同様に計算すると、
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f^{2}(a)/2!(x-a)^2+\cdots+f^{n}(a)/n!(x-a)^n+\cdots
と予想ができます。また、ここでx-a=hとおけば、
f(a+h)=f(a)+f'(a)h+f^{2}(a)/2!h^2+\cdots+f^{n}(a)/n!h^n+\cdots
となります。

次に、fがxとyの二変数関数であった場合を考えてみましょう。fをx,yのベキ級数でとりあえず仮置きしてみます。
f(x,y)=a_{00}+(a_{10}x+a_{01}y)+(a_{20}x^2+a_{11}xy+a_{02}y^2)+\cdots
ここで、x=y=0とおくことにより、a_{00}=f(0,0)が分かります。また、xで変微分した、f_x(x,y)=a_{10}+2a_{20}x+a_{11}y+\cdotsにおいて、x=y=0とおくことにより、a_{10}=f_x(0,0)が分かります。同様に、yで変微分することにより、a_{01}=f_y(0,0)が分かります。
二次の項はどうするかというと、二階編微分してからx=y=0を代入します。三次以降の項も同様であり、結局、
a_{rs}=\frac{1}{r!s!}\frac{\partial^r}{\partial u^r}\frac{\partial^s}{\partial v^s}f(u,v)\mid_{(0,0)}となることが予想できます。これより、
f(x,y)=\sum_{r,s}\frac{1}{r!s!}\frac{\partial^r}{\partial u^r}\frac{\partial^s}{\partial v^s}f(u,v)\mid_{(0,0)}x^ry^s=\sum^{\infty}_{n=0}\sum^{n}_{r=0}\frac{1}{r!(n-r)!}\frac{\partial^r}{\partial u^r}\frac{\partial^{n-r}}{\partial v^{n-r}}f(u,v)\mid_{(0,0)}x^ry^{n-r}=\sum^{\infty}_{n}\frac{1}{n!}(x\frac{\partial}{\partial u}+y\frac{\partial}{\partial v})^nf(u,v)\mid_{(0,0)}
が分かります。

また、x=a,y=b周りでの展開の場合も、同様に計算することにより、
f(x,y)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}((x-a)\frac{\partial}{\partial u}+(y-b)\frac{\partial}{\partial v})^nf(u,v)\mid_{(a,b)}
となることが分かります。この式において、h=x-a,k=y-bと置くことにより、
f(a+h,b+k)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}(h\frac{\partial}{\partial u}+k\frac{\partial}{\partial v})^nf(u,v)\mid_{(a,b)}
となります。

これよりも高次の場合についても全く同様であり、
f(x_1+a_1,x_2+a_2,\cdots,x_k+a_k)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}(a_1\frac{\partial}{\partial u_1}+a_2\frac{\partial}{\partial u_2}+\cdots+a_k\frac{\partial}{\partial u_k})^nf(u_1,u_2,\cdots,u_k)\mid_{(x_1,x_2,\cdots,x_k)}
等となります。
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最終更新：2014年12月10日 00:32