合同変換 - 光、爆発！

平面と空間の合同変換

合同変換…任意の２点間の長さを変えない変換

二次元の合同変換

平行移動、回転、鏡映、すべり鏡映、回転鏡映

三次元の合同変換

平行移動、回転、鏡映、すべり鏡映、回転鏡映、螺旋運動
変換の合成

二つの鏡映の合成

平行な平面の鏡映…平行移動
交差する平面の鏡映…回転

三つの鏡映の合成

平行な平面の鏡映…鏡映
すべり鏡映
回転鏡映

四つの鏡映の合成

螺旋運動

鏡映の個数	合同変換	不動点
1	鏡映	鏡映面
2	平行移動&()回転	なし 回転軸
3	すべり鏡映&()回転鏡映	なし 中心点
4	螺旋運動	なし

三次元空間の合同変換は上の４種類である。（→４個以下の鏡映の合成で表せる。）

合同変換と行列

直行行列　AA^t=I　となる行列。A=()とおくと、|a|=|b|=|c|=1,a∟b等。a,b,cはonb
(e1,e2,e3)を標準的なonbとすると、Ae1=a,...　→Aは(e1,e2,e3)を(a,b,c)に移す変換。
Aは内積を保つ。逆に、行列Aによって引き起こされる変換T_Aが内積を保つならば、A in O(3)
定理　A in O(3) →　T_Aは合同変換
A in O(3)ならばdetA=+-1。detA=1のとき、Aを回転行列と呼ぶ。

行列の外積

外積の定義式…
(a*b)c=det(abc)　→　a*bはa,bに直行する。★
|a*b|=|a||b|sinθ　∵　★でc=a*bとすれば、|a*b|^2=det(a,b,a*b)=|a*b|（a,bの張る平行四辺形の面積）

合同変換と行列

任意の合同変換が与えられたとき、適当な平行移動を合成することにより、不動点を持つようにできる。
∵　T(0)=vとする。vだけ平行移動する変換をTvと書くと、(Tv)T(0)=0
→任意の合同変換Tについて、あるvによってT=(Tv)T_0と書ける。（T_0は0を不動点として持つ合同変換）
→合同変換を分類するためには、0を不動点として持つ合同変換を分類すればよい。

原点を不動点とする合同変換を行列で表す

• 原点を通る平面Hによる鏡映

a,bをH上の直行する単位ベクトルとする。P=(a,b,a*b)とすると、標準基底(e1,e2,e3)を(a,b,a*b)に移す。
よってHによる鏡映は、PM^{xy}P^{-1}。　（M^{xy}はxy平面による鏡映）

• 原点を通る軸を中心とする回転

上と同じ設定として、PR^{z}_{\theta}P^{-1}。

• 回転鏡映

同様に、PM^{xy}R^{z}_{\theta}P^{-1}

このようにして、合同変換を標準形に表せる。

標準形の応用（正６面体群）

曲線

曲線のパラメータ表示：x(t)=(a(t),b(t),c(t))、(a,b,c：連続関数)

例

1. a(t),b(t),c(t)がtの一時式の場合　→　x(t):直線
2. x(t)=(cost,sint,0)　：円
3. x(t)=(at-cost,1-sint)　a<1、a=1（サイクロイド）、a>1
4. x(t)=(acost,bsint,bt)：螺旋

滑らかな曲線

x(t)がC^i級…a,b,cがi階微分可能で、微分係数が連続である。
これだけでは滑らかな曲線としては不十分である。例えば次の曲線x=(t^2,t^3)を考えると、C^∞級なのにグラフは尖っている（尖点を持つ）。どうしてこのようになったのか調べるために、微分する。
xdot(t)：速度ベクトル
上の例ではxdot(t)=(2t,3t^2)となり、原点(0,0)で速度0となる。これが尖っている形になった理由である。そこで、
def 滑らかな曲線：C^i級（とりあえずi>=3とする）で、xdot(t)≠0である曲線。

曲線の長さ

滑らかな曲線に対して弧長を考えることが出来る。
l(c):=∫||xdot(t)||dt
弧長sをパラメータと考えることが出来る。
dt/ds=1/(ds/dt)=1/||xdot(t)||
なので、||dxdash(s)/ds||=||dx(t)/ds ds/dt||=1
（dashはsに関する微分の意味）

曲率ベクトルと曲率

e_1(t):=x(t)/||xdot(t)||　：向きを表すベクトル
曲率ベクトルk(t)：微小な長さにおける、向きの変化率を表すベクトル。つまり、
k(t)=lim(e_1(t+h)-e_1(t))/(x(t+h)-x(t))=e_dot(t)/||xdot(t)||。
このベクトルの長さを曲率といいカッパ(t)と書く。
特にパラメータとして弧長パラメータをとると、k(s)=e_1dash(s),カッパ(s)=||xdash(s)||。
e_1(t)∟k(t)　（∵e_1e_1=1を微分）

例

１．半径aの円
x(t)=(acost,bcost,0)、xdot(t)=(-asint,acost,0)、||xdot(t)||=a、e_1(t)=(-sint,cost,0)、k(t)=1/ae_1(t)、カッパ(t)=1/a　（半径aが大きいほうが、曲率は小さくなる）
２．螺旋
x(t)=(acost,bcost,bt)、xsot(t)=(-asint,acost,b)、||xdot(t)||=√(a^2+b^2)、e_1(t)=1/√(a^2+b^2)xdot(t)、k(t)=1/(a^2+b^2)(-cost,-sint,0)、カッパ(t)=a/(a^2+b^2)

k(t),カッパ(t)の計算公式

k(t)=1/(xdotxdot)xdotdot-xdotxdotdot/(xdotxdot)^2xdot
カッパ(t)=√{((xdotxdot)(xdotdotxdotdot)-(xdotxdotdot)^2)/(xdotxdot)^3}