平成18年度 第1回 数学 - ヒッキー板 高認スレ@ ウィキ

割り算・分数：a/b
掛け算：a*b, ab
累乗：a^b (x^2 はｘの二乗)

１

式と計算（計15点）

1.展開　解答 ア6 イ1 ウ2 エ8
　　(与式) = (x+2)(x+2)(x+2)
　　　　　　= (x^2+4x+4)(x+2) = x^3+4x^2+4x+2x^2+8x+8
　　　　　　= x^3+6x^2+12x+8

　公式を利用 (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
　　(与式) = x^3+3*x^2*2+3*x*2^2+2^3
　　　　　　= x^3+6x^2+12x+8

2.因数分解　解答 オ1 カ2
　　(x+1)=Xとおく
　　(与式) = X^2-X-2
　　　　　　= (X+1)(X-2)
　　　　　　= (x+1+1)(x+1-2) = (x+2)(x-1)
　　　　　　= (x-1)(x+2)

　　(別解)展開してから因数分解
　　(与式) = x^2+2x+1-x-1-2
　　　　　　= x^2+x-2
　　　　　　= (x-1)(x+2)

3.分母の有理化　解答 キ3
　　(与式) = 1/(√5-2) * (√5+2)/(√5+2)
　　　　　　= (√5+2) / (√5-2)(√5+2) = (√5+2)/(5-4)
　　　　　　= √5+2
　　　　　2<√5<3だから　　　　　　　　　　　　　　<-----　　√4<√5<√9
　　　　　√5+2は 2+2<√5+2<3+2
　　　　　よって 4<√5+2<5

２

方程式と不等式（計20点）

1.一次不等式　解答 ア3
　　3x-1≦5x+9 を移項して
　　-2x≦10
　　両辺を-2で割って x≧-5

2.二次方程式　解答 イ- ウ3 エ2 オ1 カ6
　　解の公式を利用　　　　　　　　　　　　　　　<-----　　ax^2+bx+cの解は
　　x = {-3±√(3^2-4*3*(-1))} / 2*3　　　　　　　　　　　　x = {-b±√(b^2-4ac)} / 2a
　　　= {-3±√(9+12)} / 6
　　　= (-3±√21) / 6

3.一次不等式　解答 キ1 ク3
　　的に当たった回数を x ,外れた回数を y とすると
　　x+y = 20
　　よって　y = 20-x　　--- 1
　　得点をx,yで表すと
　　5x+y
　　70点以上なので
　　5x+y≧70　　--- 2

　　1,2より
　　5x+(20-x)≧70
　　∴4x≧50
　　∴x≧12.5
　　よって最低13回当てなければならない

4.二次方程式　解答 ケ4 コ- サ2
　　解の一つが3なので,3を代入すると
　　3^2+(a-5)*3-6=0
　　9+3a-15-6=0
　　3a-12=0
　　移項して 3a=12
　　よって a=4

　　元の式に代入すると
　　x^2+(4-5)x-6=0
　　x^2-x-6=0
　　(x+2)(x-3)=0
　　よって x=3,-2

３

二次関数（計15点）

1.グラフ　解答　ア4
　　y=a(x-p)^2+qのグラフの頂点は点(p,q)
　　y=2(x-1)^2-3なので
　　頂点は(1,-3)

2.グラフ　解答　イ1
　　頂点が点(-1,8)なので、求める２次関数は
　　y=a(x+1)^2+8
　　グラフが点(1,0)を通るから
　　0=a(1+1)^2+8
　　0=a*4+8
　　0=4a+8
　　4a=-8
　　a=-2
　　よって y=-2(x+1)^2+8

3.頂点　解答　ウ3 エ1
　　平方完成してy=a(x-p)^2+qの形にする
　　y=(x-3)^2-9+10
　　y=(x-3)^2+1
　　よって頂点の座標は(3,1)

４

二次関数(計15点)

1.最大値・最小値　解答 ア2 イ- ウ2
　　頂点の座標は(-1,2)
　　xが-3のとき
　　y=-(-3+1)^2+2
　　 =-4+2
　　 よりyは-2
　　xが1のとき
　　y=-(1+1)^2+2
　　 =-4+2
　　よりyは-2
　　よってyの最大値は2,最小値は-2

2.共有点　解答 エ2
　　D/4=3^2-1*3
　　　　=9-3=6>0
　　よって共有点の個数は2個

3.二次不等式の解　解答 オ1
　　二乗しているのでxにどんな数を代入しても
　　(x-1)^2≧0は成り立つ
　　よって解はすべての実数

５

三角比(計10点)

1.三角比 正弦　解答 ア3
　　BC = ABsin50ﾟ+3
　　　　= 8*0.7660+3
　　　　=9.128

2.180ﾟ-θの三角比　解答　イ2
　　cos(180ﾟ-θ) = -cosθより
　　cos130ﾟ=cos(180ﾟ-50ﾟ)=-cos50ﾟ
　　cos50ﾟ=0.6428より
　　-cos50ﾟ=-0.6428

６

三角比(計25点)

1.　解答　ア1 イ2
　　cos30ﾟ = √3/2,sin30ﾟ = 1/2より
　　cos^2 30ﾟ-sin^2 30ﾟ = (√3/2)^2-(1/2)^2
　　　　　　　　　　　　　 = 3/4-1/4
　　　　　　　　　　　　　 = 1/2

2.　解答 ウ- エ3 オ4
　　tanθ = sinθ / cosθより
　　tanA = 3/5*(-5/4)
　　　　　= -3/4

3.余弦定理　解答 カ5 キ1
　　BC^2 = AB^2+AC^2-2*AB*AC*cosA
　　　　　= 5^2+4^2-2*5*4*(-1/4)
　　　　　= 25+16-40*(-1/4)
　　　　　= 41+10
　　　　　= 51
　　よってBC = √51

4.図形　解答 ク2 ケ6 コ3
　　△ABCの面積をSとすると
　　S = 1/2*3*4*sin60ﾟ
　　　= 6*√3/2
　　　= 3√3
　　平行四辺形ABCDの面積は△ABCの面積の２倍なので
　　6√3

5.図形　解答 サ1 シ6 ス6 セ4
　　球Pの表面積をSとすると
　　S = 4π(1)^2
　　球Qの表面積をS'とすると
　　S' = 4π(4)^2
　　　　= 4π*16
　　S'/S = 16
　　よって 16倍

　　球Pの体積をVとすると
　　V = 4/3π(1)^3
　　球Qの体積をV'とすると
　　V' = 4/3π(4)^3
　　　　= 4/3π*64
　　V'/V = 64
　　よって 64倍