カルマン・フィルタ

カルマン・フィルタの特徴
- 信号は非定常でも可。ただし、エルゴード性を仮定
- 観測雑音を白色雑音と仮定。

連続系のカルマン・フィルタの理論

$x(t)$ :システムを構成する状態変数
$u(t)$ :入力される制御変数
$y(t)$ :システムから出力され、観測の対象となる観測変数
$w(t)$ :観測雑音、白色雑音を仮定　 $\ E\{ w(t_1),w(t_2)\} = \sigma^2 \delta(t_1 - t_2)$
$F$ :システムの状態の変化を表現する関数
$H$ :状態変数 $x(t)$ から観測変数 $y(t)$ への変換を表現する関数
状態方程式
$\frac{dx(t)}{dt} = F(x,u,t)$
観測方程式
$y(t) = H(x,t) + w(t)$

$A(t) = \frac{\partial F}{\partial x}, \ B(t) = \frac{\partial F}{\partial u}, \ C(t) = \frac{\partial H}{\partial x}$
とおくと、
$\frac{dx(t)}{dt} = A(t)x(t) + B(t)u(t)$
$y(t) = C(t)x(t) + w(t)$
となる。

離散系のカルマンフィルタの理論

$x_k$ :状態ベクトル
$y_k$ :観測ベクトル
$u_k$ :制御ベクトル
$v_k$ :状態雑音ベクトル
$w_k$ :観測雑音ベクトル
$\Phi_{k+1,k}$ :時点 $k$ から $k+1$ への状態遷移行列
$C_{k+1,k}$ :時点 $k$ から $k+1$ への制御行列
$H_k$ :観測行列
$V_k$ :状態雑音 $v_k$ の共分散行列
$W_k$ :観測雑音 $w_k$ の共分散行列
状態方程式
$x_{k+1} = \Phi_{k+1, k}x_k + C_{k+1,k} u_k + v_k$
観測方程式
$y_k = H_k x_k + w_k$
ここで、状態ベクトル $x_k$ は、制御ベクトル $u_k$ からドライブされるものと考え、 $u_k = D_k x_k^*$ とする。つまり、状態ベクトルの推定値の変換として制御ベクトルが得られると考える。
また、状態雑音 $v_k$ の影響を受けない状態での状態ベクトルの値を状態ベクトルの予測値と定義すると、
$x_{k+1,k} = (\Phi_{k+1,k} + C_{k+1,k}D_k)x_k^*$
$\Psi_{k+1,k} = \Psi_{k+1,k} + C_{k+1,k}D_k$
このとき、予測のアルゴリズムは以下のようになる。