数学概説

数Ⅰ・A

数Ⅱ・B



数学Ⅰ


≪二次関数≫



  • 1 :あまとう@文系:2011/08/01(月) 12:36:49 ID:EKH1xbG6
2次関数の重点ポイントをなにげなく
記述してみます。
2次関数の考え方は様々な分野(特に数学Ⅱ以降)で頻繁に応用され、
また基礎的な数学的思考力を養うために重要な解法が多く、
ぜひ高1のうちに得意にしておきたい分野であります。
重点分野は「2次関数の最大最小」と「2次方程式・2次不等式」の2つです。

  • 2次関数の最大最小
教科書レベルの平方完成ができ、かつ2次関数のグラフが書けることを前提に話を進めます。
問題集で以下の7つの解法を押さえて置きましょう。

①頂点が動くときの最大最小(aによる場合分け) 
②区間が平行移動するときの最大最小(aによる場合分け) 
③区間の右側だけ動くときの最大最小(aによる場合分け) 
④上に凸か下に凸かで場合分けするパターン(aが2次項の係数となるパターンで場合分けが必要) 
⑤条件つきの最大最小(文字を条件式を使って2つから1つに減らすパターン)
⑥4次関数をx^2=tなどを用いてtの2次関数に置き換えするパターン 
⑦2変数関数

①~③は超頻出問題であり、必ず一貫した体系として押さえておきたい。
3色ペンでわかりやすく図をかいてみましょう。
  • ④はa=0のときを見逃さないことがポイント。いたるところで
a=0のときを記述しないと減点される問題が今後出てきます。

⑤は文字を減らすという、2次試験でも最頻出の数学的発想法であり、今後も
頻出します。この問題を通じて数学特有の考え方を押さえていこう。

⑥は一見簡単そうですが、他の文字で置き換えたら
「必ずその文字の取りうる範囲を調べる」という大変重要な基本事項を示唆してくれます。
これは三角関数や指数対数関数など数学Ⅱの分野で必ず重要になります。 

⑦は「2つのうち1つの文字を定数と見る」というこれまた重要な論点が登場します。
なぜか傍用問題集であまり取り扱われないパターンですが、
1対1ではなんと4種類ものパターンが掲載されています。必読!!

以上、最大最小問題は青チャレベルなら基本的に
この7つの解法を押さえていれば定期テストは無敵です。
もちろん、これよりレベルの高い解法
(例:x+y=u,xy=vと置き、解と係数の関係や実数解条件を用いるパターンetc)
が1対1以上の難易度の高い
問題集には出てきますが、それらは各自で定着させていきましょう。

  • 2次方程式

2次方程式は、数と式との関連を頭で理解するのが大事です。
例えば、数式において方程式の解というのはグラフの共有点を表します。
また、実数解の数(判別式で求められる)というのはそのままグラフの共有点の数を表します。
逆も成り立ちます。この相互関係を頭に入れることです。


  • 2次不等式


2次不等式は挫折率が高いようです。
教科書になにやら表でごちゃごちゃ書かれてますが、いまいちわかりにくいですよね。
一応コツがあります。
例えばx^2-2ax+x+6>0が全てのx に対して成り立つようにaの範囲を求めよ。
という問題の場合。

y=x^2-2ax+x+6…①

y>0…②

に分解し、その①と②の共通部分を求めるんだと考えればわかりやすいです。
すると①の式が常にx軸より上方にあればいいんだなと気付くので、判別式D<0を使うことになります。
この考え方は厳密には数学Ⅱの範囲ですが、押さえておくといいと思います。

これさえわかれば基本的な解法の数自体は
最大最小問題の解法の数と大差ないので、すぐに攻略できると思います。


<三角比(図形と計量)>



三角方程式・不等式 と 図形問題 という2つの柱があります。
細かく分野毎に攻略法を掲載します。

  • 三角比の定義

↑で一発で公式が覚えられます。
sin,cos,tanそれぞれ1つ覚えればok。
蛇足だが、sin15゜,cos15゜の値は地味に覚えとくと良いかも。

  • 三角比の値
sin0゜~180゜,cos0゜~180゜の値は必ず瞬時に言えるようにしておこう。
授業でy=sinθ,y=cosθのグラフを扱ったならそのグラフの形と関連させるとわかりやすい。
コツとしては、
\sin0^\circ=\frac{\sqrt{0}}{2}=0
\sin30^\circ=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}
\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
sin90^\circ=\frac{\sqrt{4}}{2}=1
と、θの値が上がっていくにつれて根号の中身が1ずつ増えること。
cosθは逆に√3から減っていくが、考え方は同じ。
tanθも全て覚えてほしいが、万が一忘れても\tan=\frac{\sin}{\cos}
の公式から導けるので神経質になることはない。

  • 三角比の相互関係(3つの公式)
問題解いていく過程で3つ全部覚える!!
cosはいつも分母にくる。
\sin^2+\cos^2=1はかなり頻出。

  • 90度-θ、180度-θの三角比
入試では出ないがどうせ定期テストでは1問ぐらい出るだろう。
グラフから導くこともできるが一応覚えておこう。
これを使った問題を解くときは、まず度の数字を揃えることからはじめる。

  • m(傾き)=tanθ
tanΘ=sinΘ/cosΘという公式を単位円上で考えると、tanΘが傾きを表すことに気が付くはずです。。 

  • 三角方程式・三角不等式
第1の山場。簡単な因数分解や対称式、2次不等式は復習しておこう。
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1も自在に使えるように。
単位円を用いてもいいが時間がかかる。単位円を書かなくても
解けるように、sin0゜~180゜、cos0゜~180゜は全て暗記しておくこと。

  • 2次関数との融合
基本的に2次関数を復習しておけばいいが、解の個数を求める問題に注意!!
2次関数と違い、2次関数と融合された三角比の場合は解は4個まで存在することもある。
差がつきやすいポイント。
また、sinθ=t と置く場合、tのとりうる範囲を必ず明記すること。

  • 正弦定理・余弦定理・三角形の面積公式
第2にして最大の山場。
外接円を伴う四角形の問題が頻出。
関連して、∠A+∠C=180 とか 角の二等分線なども周辺知識として押さえる。
また、稀に内接円を伴う問題も出題される。S=\frac{1}{2}(a+b+c)rの公式も押さえておく。

  • 空間図形
難関大2次試験で頻出するのでぜひ得意にしたい。
四面体が絡む問題は、どこを底面と見るのかで
工夫が必要な問題が多い。
また、球に内接した正四面体の問題ではスムーズに正弦定理が使えるように。
図形の対称性に着目するのがポイント。
尚、空間で考えてもわからない場合、断面図を描いて平面的に考えると
わかりやすい問題も多々ある。その場合、三平方の定理などが活躍するだろう。
また、球の表面積と体積、相似比もささっと覚えてしまおう。

とにかくsin0゜~180゜、cos0゜~180゜の値を全て覚えることです。
※誤解のないように言っておくが、勿論sin13とかそんな15の倍数じゃないものは覚えなくていいですよ
教科書の表に出てくる主要なものだけでいいです。

さて、三角比はコツさえ掴めば

文系範囲の数学では、一二を争うほど平易な分野だと確信するが、
問題はその三角比のコツが初見の人にとってはなかなか掴みにくいことだ。
初心者がよく迷う質問が本スレで書かれたから以下それを検討してみる。

Q.聞きたいんだが、有名角って覚える物なの?

(ここでは有名角をsin30゜とかcos45゜とかの値を指すと仮定して話を進める)
これについては2つの流派がある。
  • 一つは「直角三角形(あるいは単位円)をその場で思い浮かべて考えれば暗記しなくてもいい」
という説。
  • もう一つは「原則\sin30^\circ=\frac{1}{2}とか\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}などというのは値を覚えるべき」
という説。

あまとう@文系としては“後者”をおススメする。
もちろん直角三角形や単位円からsinθやcosθの値を導く作業は経験しておいたほうがいい。
時々センター試験で出題されるからだ。(厳密には数学Ⅱの三角関数という分野)
但し、デメリットとしては「時間がかかる」ことが挙げられる。
数学は一分一秒が勝負。
いちいち直角三角形を書く(或いは思い浮かべる)手間をかけるのは少し惜しい気がする。

その点、最初から \sin30^\circ=\frac{1}{2} !! と暗記してしまえば話は早い。
但し、ただの棒暗記になってしまってはダメで、y=sinθのグラフとか
単位円(数学Ⅰの範囲なら半円)でいうならどの位置に求める点が来るのかを
イメージしながら覚えることがポイント。
(y=sinθとかy=cosθのグラフは厳密には数学Ⅱの範囲だが
進学校の先生ならほぼ間違いなく高1の段階で教わるはずだ。)

  • そうはいっても、俺は暗記が苦手なんだよ…

大丈夫!!一発で記憶できる方法があるから。
この表を使うべし!!

θ 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sinθ   √0/2 √1/2 √2/2 √3/2 √4/2 √3/2 √2/2 √1/2 √0/2
cosθ √4/2 √3/2 √2/2 √1/2 √0/2 -√1/2 -√2/2 -√3/2 -√4/2

この表は説明をわかりやすくするため
無理やり分数にして根号を導入した形にしてあるが、
根号の中身をよく見てみると1ずつ上下する。
これを念頭に置けば、誰でも一瞬でsinθとcosθの値はスラスラ覚えられるだろう!!
ちなみに、数学Ⅱではsin180゜~sin360゜とかも習うが、同じ要領でやっとけば十分。

tanθの方は、√3ずつ、あるいは1/√3ずつ 掛け算していくのがポイント。
万が一忘れても tanθ = sinθ/cosθ
を使えば導くことができる。


公式は多いですが、問題解いていく過程ですぐ覚えられます。
公式さえ覚えられれば大抵あとは流れ作業でほとんど解ける。
満点近い点数が狙えるおいしい分野です。


数学A


数学Aは、数学Ⅰのように単純計算で片づけられる分野は少なく、
考える力に特に重点があてられるため、一癖も二癖もありますね。
特に場合の数と確率は、文系でも理系でも花形の分野であり、
2次試験で必ず1題は出されるほどの超頻出分野です。


≪場合の数≫

「順列」と「組み合わせ」が山場の分野です。
計算力はそれほど必要ではないけど、問題を解けるようにするまでがしんどいです。
まずは、教科書や傍用問題集の例題の模範解答を全部自分の手で書いてみることです。
(大体10~15個ぐらいの例題がある。)
そうすることで、解答の流れを体に叩き込むことができます。
とにかく式の少ない分野なので、日本語を用いて解答を作成する能力が特に問われます。
解答を写経することでそのコツを身に着けることです。
他にも、表を書いたり樹形図を書いたりすることで解答がわかりやすくなることもあります。
以下、重要事項について。

  • ド・モルガンの法則
  • n(A∨B)=n(A)+n(B)-n(A∧B)
この2つは、セットで出てくることが多い。ベン図を利用する問題で多い。

  • 和の法則&積の法則
法則の説明書きは特に暗記する必要もなし。
ちなみに自明な事しか書かれていないし、法則名すら覚えなくてもいいと思う(笑)
ただ、一応場合の数の根幹をなす考え方ではある。
約数の問題の解き方は暗記しとくべし。青チャートの解答などが参考になるかも。

  • 順列
1!~6!までの値は即答できるようにしとくべし。
○数字の並べ方、○人の並べ方、○円順列(&じゅず順列)、○重複順列
それぞれ各数パターンの解き方がある
例:①数字の並べ方だと、偶数のときはどうとか3の倍数の時はどうかとか 
   数字の中に0が入っていたらどう場合分けするかetc
  ②人の並べ方だと、隣り合うとき、誰も隣り合わないとき、両端にくるときetc

これらの解法は初見で思いつくのはまず無理なので、
各パターン特有の解法の考え方を覚える必要がある。これが結構めんどくさい。
ただ、覚えてしまえば何ということはない。
尚、円順列は単純なパターンだと公式の利用だけで解けるが、
何かを1つ固定させるタイプのレベルの高いパターンもあり、差がつくところである。

  • 組合せ
順列との違いがよくわからないという声も多いが、
「こういう問題はこう解く!」とすべての問題について暗記していれば
自然と順列と組合せのどちらを使うかがわかると思う。
○グループ分けの問題、が特に色々な角度から狙われやすい。
頭の中を整理していないと混乱するので、事例ごとに整理していきましょう。
また、nCr=nCn-r  など、計算の簡略化も図ること。

青チャートでは
順列は異なるn個のものの中から異なるr個を取り出して1列に並べる
組み合わせは異なるn個のものの中から異なるr個を取り出す
と定義されており、要約すると順番を区別して取り出すかどうかの違いである。

  • 同じものを含む順列
公式覚えればかなり簡単。
ほとんど道順に関する問題だが、たまに文字を並べる問題もある。
道順に関する問題では、n(A∨B)=n(A)+n(B)-n(A∧B)もよく絡めてくる。

  • 重複組合せ
めったに出ないけど、一応ひととおりやっておくことを勧める。
nHmとかいう記号が登場するが、あまり使わない。

  • 二項定理
これも滅多にないので、基本さえ押さえれば大丈夫だと思う。
数学Bの数列とよく融合されやすい。


≪確率≫

前半部分は、場合の数の主要な例題が全部押さえられていれば
それほど難しくはないです。
場合の数に「全事象を分母におく」という作業が加わっただけです。
後半の独立な試行(反復試行を含む)が確率特有の最重点分野です。

典型問題の数は場合の数に比べれば少ないです。
(実際、入試問題では確率で典型問題はほとんど登場しない。
その場で初見の題材をテーマに、平等に考えさせる問題のほうが圧倒的に多い。)

でもまあ折角なので、典型問題について一通り網羅してみます。
なお、確率の考え方になじめない人は
『細野真宏の確率が本当によくわかる本』や『ハッとめざめる確率』
を読むといいです。前者が初心者向け。後者は中上級者向け。

なお、教科書には用語がたくさん出てきますが、
模範解答に登場しないような用語は全部覚えなくていいです。

  • 袋から球を取り出す問題
これは解法を知っていれば即答できる。

  • 余事象
「少なくとも~」という語が登場したらまずは余事象を疑いましょう。
また、「少なくとも~」という語が出てこなくても、普通のアプローチより
早く解けると判断したらどんどん余事象を使っていくといい。意外と余事象は頻繁に使う。

  • サイコロの目の最大値
割と特殊な処理(引き算)をするので、覚えてないとできない。
ただし、覚えていれば即答。

  • 反復試行
たいてい公式をあてはめれば即答。
ただし、4回目までは反復試行の公式を適用して5回目だけ普通の確率を掛け合わせる
などといった、ひとひねりされた問題もあるから注意。

  • 期待値
確率の大問の最後がよく期待値の問題で締めくくられるが、
何のことはない、ただの平均値を求める問題に過ぎないので身構える必要はない。
ただ、ケアレスミスを犯しやすいので、
全部の確率を足し合わせて必ず1になるかを確かめるという検算は怠らないこと。
期待値の問題はたいてい綺麗な答えになるので、分母分子が4ケタ以上になるようなら
計算ミスを疑ったほうがいい。

  • その他(検算について)
場合の数と確率はほかの分野と違い、検算がほとんどできないので
代わりに数を減らしたりなどして設定を単純化させて実験してみるなどの方法が
意外に有効である。
また、答えもある程度直感でどの程度になるのか見当がつくことも多いので、
その直感と大きくずれた答えが出たら、計算ミスを疑ったほうがいいだろう。

  • nで一般化された問題の場合→具体的な数値を入れて実験してみる
nという文字が入った確率の問題になると途端に解けなくなる人がいるが
まずはn=1,n=2などを代入して実験してみること。すると解き方がわかってくる事が多い。
なお、nで一般化された問題は難関大入試でかなり頻出であり、しばしば数学Bの数列と融合されることを念頭においておこう。
確率と数列の融合問題としては、確率漸化式が最頻出である。

  • センター試験の確率について
基本的に公式適用問題は稀で、すべての場合について数え上げる問題が多い。
センター確率においては、うまい方法を考えるより先に、
まずは泥臭くても全ての場合について数え上げる姿勢が大切である。


≪平面幾何≫

基本的にセンター試験専用分野です。
2次試験ではほとんど出題例がないそうです。
よって、証明問題は自力で解けるようにする必要性をあまり感じないです。
だいいち、その証明問題のレベルが不当に高すぎる気もします。

数学が苦手な人とか、センターだけ数学が必要な人は
後述する基本的な定理を覚えて、問題も求値問題だけ解ければ
それでいいと思います。
(よって青チャートも、ごく基本的な問題が数問だけ解けていればいい。)

数学が得意な人のみ、定理の証明だとか問題集の証明問題に取り組んでみるのが
いいと思います。
ちなみに自分は、青チャートの証明問題は1回解答を写経しただけで終わらせました。
自力で証明問題を解いてません。

なお、平面幾何は数学Aに位置付けられますが、
座標平面(円の問題は数学Ⅱの図形と式の知識が必要)を導入してみたり、
数学Bで習うベクトルを導入したりして解くことも可能です。
その解き方だと機械的に計算すればいいので便利です。その代わり計算が非常にめんどいですw
俺はむしろこっちの解き方のほうが好きです。
幾何的に解くと、発想力が必要になってしまい、解法パターンの暗記では対応しにくいです。

では、センター試験で頻出する事項について書き出してみます。
これらは数学Ⅰの三角比の問題でもよく登場するので覚えときましょう!!
重要なものは☆印をつけました

  • ☆角の二等分線と比
  • 面積と相似比
  • 三角形の五心(どちらかと言えば2次試験でよく出る気がする)
  • ☆円周角の定理
  • ☆内接四角形の性質(円に内接する四角形)
  • ☆接弦定理
  • ☆方べきの定理
  • ☆2円間の距離(これは数学Ⅱの図形と式でよく使われる)
  • チェバの定理とメネラウスの定理

<頻出解法>
○角を二等分する線があったら→角の二等分線の比の公式を使う
○円絡みの三角形で90°の角度があったら→その角に対応する線分は円の直径
○円絡みの三角形で角が等しかったら→弧の長さ同じ、対応する線分の長さも同じ
○円に内接する四角形に対角線を引いて二つの三角形にして条件に面積があれば→sinθ=sin(180-θ)
○円を突き抜ける直線が2本ある→方べきの定理
○円に接する直線がある→方べきの定理、もしくは角度90°を使うパターン
○問われている線分をよく見たら円の半径だった

チェバとメネラウスは、なぜかセンター試験で1度も出てなかった気がする。
そもそもこれらは数学Bのベクトルの解法を知っていれば基本的に使う機会がないと思われる。



数学Ⅱ


三角関数

  • 単位円をかきながら、90°-Θ、180°-Θなどの公式をイメージして導けるようにする。これで前半部分は攻略できる。
単位円ではなく、三角関数のグラフで考えてもいい。

  • 加法定理が最重要。加法定理の覚え方!!
sin(a+b)~咲いたコスモス、コスモス咲いた 
cos(a+b)~コスモスコスモス、咲かない咲かない 

  • 倍角公式・半角公式・3倍角の公式・tanの加法定理は頻出するので原則として覚えた方がいいが、
万が一忘れてもsinやcosの加法定理から公式を導けるようにする。

  • 半角公式は次数下げの場面でよく使われる。
例えば2Θで合成するための前フリとして用いられるパターンが多い。 

  • 三角関数の合成は、加法定理を逆の操作を行っているに過ぎない。
例えば、(√3)sinΘ+cosΘは
2でくくると
2{sinΘ * √3/2 + cosΘ * (1/2) }となるので
=2{sinΘ * cos30° + cosΘ * sin30°}  この行の変形が重要

これをsinの加法定理と見比べると
=2sin(Θ+30°)と変形可能。

このような変形の原理を知っておけば、わざわざ合成するときに単位円を書く作業が省ける。
もしcosで合成してと聞かれても、cosΘ*(cos○) - sinΘ*(sin○)の形を目標に
すればいいことが分かるからしっかり対応できる♪(←2000センター本試で出題例あり)

  • 積→和、和→積の公式はめったに出ないから、暗記する必要はない。
その代わり、加法定理から公式を導けるようにしておく必要はある。




コメント

  • 有名角って覚えるもんなの?って質問した者だが、助かったぜマジ感謝 -- 名無しさん (2011-09-06 00:34:16)
  • はじめまして
    高2男子(インフルエンザで寝込み中)です


    数学苦手だけどこれ見て展望が晴れた気がします


    管理人に感謝感謝(^o^)/ -- iken (2012-02-16 21:07:53)
  • 数学ⅡBも -- 名無し (2012-04-04 03:26:01)
  • 感謝 -- 名無し (2012-04-05 00:49:04)
  • 感謝感謝じゃねえはげ 気がしますじゃねえはげ -- 名無しさん (2012-07-13 21:23:27)
  • hagehage -- 名無しさん (2012-07-16 08:11:58)
  • hagero -- 名無しさん (2012-10-02 02:53:01)
  • 欠けてる数Ⅱの図形と式のとこと数B,Ⅲ,Cのとこも欲しいな -- おいp (2013-04-27 23:56:12)
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最終更新:2013年07月28日 10:39
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