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力学系を特徴付けるある関数を与える。
時刻およびにおいて
が最小値を取るよう運動する。 このように力学系の運動法則は最小作用の原理で与えられる。 このときを作用、をラグランジアンという。
がを最小にする関数であるとする。ここで時刻からにわたって小さな関数(変分)を定義する。
これは条件を満たす。
作用の変分は
第1項は上の条件より0となる。任意のに対してこの変分0にならなければいけないので
というわけで、これをラグランジュ方程式という。
ラグランジアンの具体的な形は与えずに、最小作用の原理だけからこの条件が出てくるって、なんか感動ですね。