ガチ受験勢になります。
非想天則アンインストールして気分もスッキリ！
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積分まとめ |
なんでこんなことしてるん？
ボクがあまりに積分が苦手なので復習がてらまとめてみることにした。
自分のための復習なので見やすさは無視、思い出しながら書けるか確かめるだけ。
参考にはならない、ここ見るくらいなら教科書を見るんだ！
始めに
積分の計算の基本は「微分したらその関数になるヤツを探す」こと。
といってもいろいろ公式があるから、使って覚えて身につけましょう。
ここで使うであろう記号･表現
| + |
加法 |
| - |
減法 |
| ＊ |
乗法 |
| / |
除法 |
| n^x |
ｎのx乗 |
| ｆ’(x) |
ｆ(x)の導関数 |
積分法
基本公式
- ∫x^a dx ＝ 1/a+1＊x^(a+1)＋C (C:積分定数)
- ∫x^-1 dx ＝ log|x|＋C (C:積分定数)
指数関数の積分
三角関数の積分
まずは次数を下げる、話はそれからだ。
- ∫sinx dx ＝ -cosx＋C (C:積分定数)
- ∫cosx dx ＝ sinx＋C (C:積分定数)
- ∫1/(cosx)^2 dx ＝ tanx＋C (C:積分定数)
さまざまな三角関数の公式
- 三角関数の基本公式
- 式の変形に活用する
- (sinx)^2＋(cosx)^2 ＝ 1
- tanx ＝ sinx/cosx
- 1+tanx ＝ 1/(cosx)^2
- sin2x ＝ 2(sinx)*(cosx)
- cos2x ＝ (cosx)^2－(sinx)^2 ＝ 1－2(sinx)^2 ＝ 2(cosx)^2＋1
- 半角の公式
- 次数を下げるのに活用する
- (sinx)^2 ＝ 1-cos2x/2
- (cosx)^2 ＝ 1+cos2x/2
- 積⇒和の公式
- 式の変形に活用する
- sinαcosβ ＝ 1/2{sin(α+β)＋sin(α-β)}
- cosαcosβ ＝ 1/2{cos(α+β)＋cos(α-β)}
- sinαsinβ ＝ －1/2{cos(α+β)－cos(α-β)}
ちょっと変わった公式
- ∫|ｆ(x)|^n＊ｆ’(x) dx ＝ {ｆ(x)}^(n+1)/n+1＋C (C:積分定数)
- ∫ｆ’(x)/ｆ(x) dx ＝ log|ｆ(x)|＋C (C:積分定数)
部分積分法
- ∫ｆ’(x)ｇ(x) dx ＝ ｆ(x)ｇ(x)－∫ｆ(x)ｇ’(x) dx
つまるところの、積の微分法の逆算。
指数関数、三角関数、対数関数の積分に役立つ。
- 積の微分法
- {ｆ(x)ｇ(x)}’ ＝ ｆ’(x)ｇ(x)＋ｆ(x)ｇ’(x)
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公式の求め方 |
- これの両辺をxについて積分すると･･････
- ｆ(x)ｇ(x) ＝ ∫ｆ’(x)ｇ(x) dx＋∫ｆ(x)ｇ’(x) dx
- これを変形して･･････
- ∫ｆ’(x)ｇ(x) dx ＝ ｆ(x)ｇ(x)－∫ｆ(x)ｇ’(x) dx
-
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- 使い方
- ∫x^a*F(x) dx の計算をするとき、
- F(x)が指数関数、三角関数なら･･････F(x)がｆ’(x)と考える
- F(x)が対数関数なら･･････x^aがｆ’(x)と考える
- また、これを用いてlogxを積分すると、
- ∫logx dx ＝ xlogx－x－C (C:積分定数)
-
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+
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求め方 |
- ∫logx dx
- ＝∫(x)’*(ｫgx) dx
- ＝x*logx－∫x*(logx)’ dx
- ＝xlogx－∫x*1/x dx
- ＝xlogx－x－C (C:積分定数)
-
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置換積分法
ある変数の関数の積分において、変数を置き換えて新たな変数の積分にして計算する方法。
主な手順は･･････
1.ある変数ｆ(x)を ｆ(x) ＝ t と置換する
(定積分なら、置換した際に範囲も変化していることに注意する)
2.dxをdtの式で表す
3.計算する
いくつかパターンがあるので覚えちゃおう。
- 被積分関数に (ax+b)^n の形がある場合
- 主な手順
- ∫ｆ(ｇ(x))*ｇ’(x) dx の形がある場合
- √(a^2－x^2) の形がある場合
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+
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こう置換すると･･････ |
- √(a^2－x^2)
- ＝√(a^2－a^2*(sinθ)^2)
- ＝√{a^2(1-(sinθ)^2)}
- ＝√(a^2＊(cosθ)^2)
- ＝|a*cosθ|
- となるので計算が楽になる。
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また時間ができたら追加予定。
間違ってたら･･････まぁIRCいるときに言ってください。
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最終更新：2009年10月21日 01:40
