大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k88s1

実数a,bに対し，f(x)=x^2+ax+b,g(x)=f(f(x))とする．
(1)g(x)-xはf(x)-xで割り切れることを示せ．
(2)g(p)=pかつf(p)≠pを満たす実数pが存在するような点(a,b)の範囲を図示せよ．
(1)
g(x)-x=f(f(x))-f(x)+(f(x)-x)=( (f(x))^2-x^2)+a(f(x)-x)+(f(x)-x)=(f(x)-x)(f(x)+x+a+1)．
(2)
g(p)=pかつf(p)≠pを満たす実数pを(1)の結果に代入すると0=(f(p)-p)(f(p)+p+a+1)であるからf(p)+p+a+1=0．
これをpの式と見た場合の判別式D≧0が必要．つまりD=(a+1)^2-4(a+b+1)=(a-1)^2-4(b+1)\geq0．
(i)等号が成立しない場合
f(x)+x+a+1=0は相異なる2実解を持つが，それらがいずれもf(x)-x=0の解となることはないので十分．
(ii)等号が成立する場合
b=\frac{(a-1)^2}4-1であるから，
f(x)+x+a+1=0の解はx=-\frac{a+1}2，f(x)-x=0の解はx=-\frac{a+1}2,-\frac{a-3}2となるので，
g(p)=pならばf(p)=pとなり題意を満たさない．

以上より，求める範囲は(a-1)^2>4(b+1)の領域．(放物線の下側．図省略)
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最終更新：2013年09月29日 14:02