k88s2

三角形ABCにおいて，辺AB，BC，CAをそれぞれ2:1に内分する点を $A_1,B_1,C_1$ とし，また線分 $A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1$ をそれぞれ2:1に内分する点を $A_2,B_2,C_2$ とする．このとき，三角形 $A_2B_2C_2$ は三角形ABCに相似であることを示せ．

三角形ABCの重心をOとおくと， $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}$ ．
$\vec{OA_1}=\frac13(\vec{OA}+2\vec{OB})$ ， $\vec{OB_1}=\frac13(\vec{OB}+2\vec{OC})$ より
$\vec{OA_2}=\frac13(\vec{OA_1}+2\vec{OB_1})=\frac19(\vec{OA}+4\vec{OB}+4\vec{OC})=-\frac13\vec{OA}$ ．
同様に $\vec{OB_2}=-\frac13\vec{OB}$ なので $|\vec{A_2B_2}|=\frac13|\vec{AB}|$ ．
同様に $|\vec{B_2C_2}|=\frac13|\vec{BC}|$ , $|\vec{C_2A_2}|=\frac13|\vec{CA}|$ が言えるので，三辺の長さの比が相等しいから三角形 $A_2B_2C_2$ は三角形ABCに相似．

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最終更新：2013年09月29日 14:24

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