k88s3

$A=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$ とする．
(1) ${x'\choose y'}=A{x\choose y}$ で， $x^2-3y^2=1$ ，x>0，y≧1ならば， $x&#039;^2-3y&#039;^2=1$ ，0≦y'<yが成立することを示せ．
(2)x,yが $x^2-3y^2=1$ をみたす自然数ならば，ある自然数nをとると， ${1\choose 0}=A^n{x\choose y}$ となることを示せ．

(1)
$x&#039;^2-3y&#039;^2=(2x-3y)^2-3(-x+2y)^2=x^2-3y^2$ ．
$y'(x+2y)=4y^2-x^2=y^2-1\geq 0$ であり，x+2y>0よりy'≧0．
$(y-y&#039;)(x+y)=x^2-y^2=1+2y^2&gt;0$ であり，x+y>0よりy>y'．
(2)
(1)の条件下で， $x&#039;(2x+3y)=4x^2-9y^2=x^2+3&gt;0$ であり，2x+3y>0よりx'>0．
(1)の結果を合わせて，
$x^2-3y^2=1$ ，x>0，y≧1ならば， $x&#039;^2-3y&#039;^2=1$ ，0≦y'<y，x'>0．
${x_k\choose y_k}=A^k{x\choose y}$ とおく．
常に $y_k&gt;0$ と仮定すると， $y>y_1>y_2>\cdots>y_y$ より $y_y\leq0$ となり矛盾．
$y_0=y&gt;0$ なので，ある自然数nをとると， $y_{n-1}>0\geq y_n$ となる．
ここで， $y_{n-1}>0$ より $x_n^2-3y_n^2=1$ ， $y_n\geq0$ ， $x_n&gt;0$ だから ${x_n\choose y_n}={1\choose 0}$ ．

「k88s3」をウィキ内検索

最終更新：2013年09月29日 16:18

大学入試数学過去問

メニュー

リンク

他のサービス

更新履歴

k88s3