大学入試数学過去問
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k88s4

各辺の長さが2の正四面体ABCDを座標空間内で考える．辺ABはx軸上にあって，その中点は原点Oと一致し，辺CDの中点Mはz軸の正の部分にあるとする．また，0<t<1をみたす実数tについて，線分OMをt:(1-t)の日に内分する点を通り，OMに垂直な平面をαとする．
(1)2頂点C,Dの座標を求めよ．ただし，Cのy座標は正であるとする．
(2)平面αによる正四面体ABCDの切口は，どのような平面図形か．
(3)平面αで分けられた正四面体ABCDの2つの部分のうち，原点に近い部分の体積を求めよ．
(1)
OA=1なので，Aは(1,0,0)としてよい．
\vec{CD}は\vec{OM}と\vec{AB}のいずれとも垂直なのでy軸に平行．
これよりMを(0,0,m)とおくと，C(0,1,m)，D(0,-1,m)．
4=AC^2=1^2+1^2+m^2=2+m^2よりm=\sqrt{2}．
つまりC(0,1,\sqrt2)，D(0,-1,\sqrt2)．
(2)
三点ACDを含む平面と平面αはいずれも平面y=0に関して対称なので，交線もy=0に関して対称，つまりy軸と平行．
従って，面ACDの平面αによる断面はy軸に平行な線分．
同様に，面BCDの断面はy軸に平行な線分，面ABC，面ABDの断面はそれぞれx軸に平行な線分である．
求める切口はこれらの線分で囲まれる図形，つまり長方形である．
(3)
辺AC，ADと平面αの交点をP,Qとおく．△APQ∽△ACDであり，相似比はt:\sqrt2であるから，PQ=\frac{t\cdot2}{\sqrt2}=\sqrt2t．
辺BCと平面αの交点をRとおくと，同様にPR=2-\sqrt2t．
従って平面αによる正四面体ABCDの切口の面積はPQ\cdot PR=2\sqrt2t-2t^2．
これより求める体積Vは
V=\int_0^t(2\sqrt2s-2s^2)ds= [\sqrt2s^2-\frac23s^3]_0^t=\sqrt2t^2-\frac23t^3．
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最終更新：2013年09月29日 20:35