大学入試数学過去問
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k88s6

単位をcmとする．y=\frac{a}x+b,0≦y≦8で表される曲線をy軸のまわりに回転させて作った曲面を側面にもつような，底の平らな容器がある．ただし，上面の半径は1cm，底面の半径は5cmである．
(1)この容器に深さ6cmまで水を入れた時の水の体積を求めよ．
(2)この容器に毎秒kcm^3の割合で水を入れるとき，深さ3cmのときの水面の上昇速度を求めよ．
(1)
(x,y)=(5,0),(1,8)を代入して(a,b)=(10,-2)．
y=\frac{10}x-2を変形してx=\frac{10}{y+2}．
これより深さtcmの水面の面積は\pi(\frac{10}{t+2})^2
従って求める体積は
\int_0^6\pi(\frac{10}{t+2})^2dt=100\pi\int_2^8s^{-2}ds=100\pi[-\frac1s]_2^8=\frac{75\pi}2 (cm).
(2)
深さ3cmのときの水面の面積は\pi(\frac{10}{3+2})^2=4\piなので
水面の上昇速度は毎秒\frac{k}{4\pi}cm．
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最終更新：2013年09月29日 21:05