大学入試数学過去問
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k89s1

OA_1=OB_1=1，\angle B_1OA_1=\theta(0<θ<π)であるような二等辺三角形OA_1B_1がある．
辺A_1B_1の中点をB_2とし，辺OA_1上にOA_2=OB_2となる点A_2をとり，二等辺三角形OA_2B_2を作る．以下同様にして，n>2についても二等辺三角形OA_nB_nを作っていく．
辺OA_nの長さをa_nとおく．
(1)a_3\sin\frac{\theta}4を計算せよ．
(2)\lim_{n\to\infty}a_nを計算せよ．
(1)
∠A_1OB_2=\frac{\theta}{2}であり，以下同様に∠A_nOB_{n+1}=\frac{\theta}{2^n}．
∠OB_{n+1}A_nが垂直なので，a_{n+1}=OB_{n+1}=OA_n\cos\frac{\theta}{2^n}=a_n\cos\frac{\theta}{2^n}．
両辺それぞれ2^{n+1}\sin\frac{\theta}{2^n}をかけて，
2^{n+1}a_{n+1}\sin\frac{\theta}{2^n}=2^n\sin\frac{\theta}{2^{n-1}}．
これはnによらないので，2^{n+1}a_{n+1}\sin\frac{\theta}{2^n}=2\sin\theta(*)．
これよりa_3\sin\frac{\theta}4=\frac{\sin\theta}4．
(2)
(*)よりa_{n+1}=\frac{\sin\theta}{2^n\sin\frac{\theta}{2^n}}．
\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{\theta}\sin\frac{\theta}{2^n}=1より，\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\sin\theta}{\theta}．
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最終更新：2013年09月29日 23:24