k89s2

n個(n≧3)の実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ があり，各 $a_i$ は他のn-1個の相加平均より大きくはないという．このような $a_1,a_2,\ldots,a_n$ の組をすべてもとめよ．

$s=\sum_{k=1}^na_k$ とおく．
条件より $a_i\leq \frac{s-a_i}{n-1}$ であり，両辺n-1倍して $a_i$ を加えると $na_i\leq s$ (*)．
これのi=1からnまでの総和をとると $ns=\sum_{k=1}^n na_i \leq ns$ である．
ここで等号が成立する条件は(*)の等号が成立するとき，つまり $a_i=\frac{s}{n}$ のとき．
このとき， $a_i$ はiによらないので全て等しい．
従って，求める $a_1,a_2,\ldots,a_n$ の組は(a,a,…,a) (a:定数)．

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最終更新：2013年09月29日 23:32

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