f(x)はxの3次式で，f(x)をその導関数f'(x)で割った余りは定数である．このとき，方程式f(x)=0を満たす実数xはただ一つであることを示せ．
f'(x)=0が相異なる2実解を持つと仮定し，根をa,b(a<b)とおく．
f(x)=p(x)f'(x)+m (p(x):xの整式，m:定数)とおくとf(a)=f(b)=mとなる．
f'(x)はa<x<bで常に符号は同じなので
となり矛盾．
これより，f'(x)=0は重解を持つか実数解を持たない．このとき，f(x)は広義単調なので，f(x)=0を満たす実数xはただ一つ．
最終更新：2013年09月29日 23:47
