大学入試数学過去問
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k89s4

四面体OABCにおいて，\vec{OA}，\vec{OB}，\vec{OC}，は互いに直交している．\vec{OG}=\frac14(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})となる点Gを通り，\vec{OG}に直交する平面による四面体OABCの切り口は，どのような図形か．\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}のそれぞれの長さa,b,cの関係により区別して述べよ．
また，a=7,b=8,c=9のとき，その切り口の面積を求めよ．
\vec{OG}に直行する平面と直線OAとの交点をPとおき，\vec{OP}=k\vec{OA}とおく．
0=\vec{OG}\vec{PG}=\frac{1}{16}((1-4k)a^2+b^2+c^2)よりk=\frac{a^2+b^2+c^2}{4a^2}．
よって，b^2+c^2\leq3a^2のとき，0<k≦1となり，Pは線分OA上にある．
\vec{OG}に直行する平面と直線OB,OCとの交点Q,Rについても線分OB,OC上にある条件は同様の不等式となる．
以下，a≦b≦cとして切り口の図形を考える．
a^2+b^2&lt;3c^2なので，Rは線分OC上にある．
(i)b^2+c^2\leq 3a^2のとき
a^2+c^2\leq b^2+c^2\leq 3a^2\leq3b^2に注意すると，点P,Qは線分OA,OB上にある．
従って，切り口は多角形PQRとなるから三角形．
(ii)c^2+a^2&gt; 3b^2のとき
c^2+b^2\geq c^2+a^2&gt; 3b^2\geq 3a^2に注意すると，点P,Qは線分OA,OB上にない．
PRとACの交点をS，QRとBCの交点をTとおくと，切り口は多角形RSTとなるから三角形．
(iii)b^2+c^2&gt; 3a^2，c^2+a^2\leq 3b^2のとき
点Qは線分OB上にあるが，点Pは線分OA上にない．
PQとABの交点をS，PRとACの交点をTとおくと，切り口の図形は多角形QRSTとなるから四角形．

また，a=7,b=8,c=9のとき，b^2+c^2\leq 3a^2なので切り口は三角形PQRとなる．この面積をSとおく．
四面体OPQRの体積VはV=\frac{abc}{6}，またV=\frac{S\cdot OG}3．
OG=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}4であるから，
S=\frac{abc}{2OG}=\frac{2abc}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{1008}{\sqrt{194}}=\frac{504\sqrt{194}}{97}
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最終更新：2013年09月30日 01:14