大学入試数学過去問
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k89s5

N色(N≧3)の絵の具のセットがある．一つの立方体の面を各面独立に，各色を確率\frac1Nで選んで塗る．このとき，塗られた結果が，使用された色の数が3以内で，かつ，同色の面が隣り合うことになっていない確率P(N)を求めよ．
また，Nの異なる値a,bに対してP(a)とP(b)の大きさを比較せよ．
一つの頂点を共有する3枚の面を考えると，これらは相異なる色で塗られる必要がある．
1枚目はN色，2枚目はN-1色，3枚目はN-2色を選べるので，これらが相異なる色で塗られる確率は\frac{N-1}{N}\cdot\frac{N-2}{N}．
ここで色を3色使用しているので新しい色は使えない．
残りの3枚の面のいずれも，すでに相異なる2色で塗られた2枚の面と隣接しているので塗り方は一意に定まる．
これらが条件を満たす確率は(\frac1N)^3．
従ってP(N)=\frac{N-1}{N}\cdot\frac{N-2}{N}(\frac1N)^3=\frac{(N-1)(N-2)}{N^5}．

P(N)=\frac1{N^3}-\frac3{N^4}+\frac2{N^5}なので，
P'(N)=-\frac3{N^4}+\frac{12}{N^5}-\frac{10}{N^6}=-\frac{3(N-2)^2-2}{N^6}<0 (N≧3)．
これより，a<bのときP(a)>P(b)，a>bのときP(a)<P(b)．
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最終更新：2013年09月30日 01:41