二つの奇数a,bにたいして，m=11a+b，n=3a+bとおく．つぎの(1),(2)を証明せよ．
(1)m,nの最大公約数は,a,bの最大公約数をdとして，2d,4d,8dのいずれかである．
(2)m,nはともに平方数であることはない．(整数の2乗である数を平方数であるという．)
(1)
xとyの最大公約数をgcd(x,y)と書く．
gcd(m,n)=gcd(m-n,n)=gcd(8a,n)．
gcd(a,n)=gcd(a,b)=dよりgcd(8a,n)=d,2d,4d,8d．
ここで，a,bが奇数なのでnは偶数だからgcd(8a,n)も偶数．つまり2d,4d,8dのいずれか．
(2)
m,nがともに平方数のとき，最大公約数も平方数だから4d．
gcd(8a,n)=4dよりn≡4 (mod 8)．m-n=8a≡0 よりm≡n≡4 (mod 8)．
このとき，
(k,lは奇数)とおけるが，8a=m-n=4(k+l)(k-l)≡0 (mod 16)より矛盾．
したがってm,nはともに平方数であることはない．
最終更新：2013年09月30日 02:58
