大学入試数学過去問
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k89ksa2

放物線y=x^2をy軸のまわりに回転してできる曲面があり，y軸が水平面に垂直でy軸の正の部分が上方にあるように置いてある．その局面の中に半径r(r>\frac12)の球を落としこむ．
このとき，この回転面と球面とで囲まれた部分の体積を求めよ．
この図形のxy平面の断面は，中心がy軸の正の部分にある半径rの円と放物線y=x^2が接している．
x>0における接点をA(a,a^2)とおき，円の中心をBとおく．
点Aにおける放物線の接線の傾きは2aであり，この接線は円の接線でもあるのでABと垂直．
従って，Bの座標は(0,a^2+\frac12)となる．よって，r^2=AB^2=a^2+(\frac12)^2．
求める体積Vは，放物線の回転体の0<y<a^2の部分の体積$$V_1$から，半径rの球を中心から\frac12の点を含む平面で切った場合の中心を含まない方の体積V_2を引いたもの．
放物線の回転体を平面y=k(k≧0)で切った断面の面積は\pi kとなるので，
V_1=\int_0^{a^2}\pi k\mathrm{d}k=\frac{\pi a^4}{2}=\frac{\pi (r^2-\frac14)^2}{2}=\pi(\frac{r^4}2-\frac{r^2}4+\frac1{32})．
また，半径rの球を中心からkの距離の平面 (\frac12<k<r)で切った断面の面積は\pi(r^2-k^2)なので
V_2=\int_{\frac12}^{r}\pi(r^2-k^2)\mathrm{d}k=\pi(r^2(r-\frac12)-\frac{r^3-(\frac12)^3}3)=\pi(\frac{2r^3}3-\frac{r^2}2+\frac1{24})．
以上より
V=V_1-V_2=\pi(\frac{r^4}2-\frac{2r^3}3+\frac{r^2}4-\frac1{96})．
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最終更新：2013年09月30日 13:20