大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k89ksa3

座標平面において，つぎの条件をみたす△ABCと半平面H={(x,y)|x≧0}との共通部分の面積の最大値を求めよ．
△ABCはAB=ACであるような二等辺三角形であって，BCはy軸に平行で，Aの座標は(-1,0)である．また，ABとy軸の交点をDとすると，DB=2\sqrt3である．
ACのy軸の交点をEとすると，求める共通部分は台形DECB．
Dのy座標は正であるとしてよく，D(0,a) (a>0)とおく．ABの傾きはaとなる．
BはAB上にあるので，x座標をbとおくと，y座標は(b+1)aとなる．
12=DB^2=b^2+(ab)^2であるから，ab=\sqrt{12-b^2}なので，
共通部分の面積SはS=\frac12(2a+2a(b+1))b=ab(b+2)=(b+2)\sqrt{12-b^2}．
S^2=-b^4-4 b^3+8 b^2+48 b+48より
\frac{\mathrm{d}S^2}{\mathrm{d}b}=-4b^3-12b^2+16b+48=-4(b+3)(b+2)(b-2)．
これよりb=2のときSは最大となり，S=8\sqrt2．
「k89ksa3」をウィキ内検索
最終更新：2013年09月30日 14:16