k89ksb1

xの関数f(x)の導関数f'(x)および二次導関数f"(x)が存在して，つぎの3条件をみたしている．
(i) f(0)>0
(ii) f'(0)>0
(iii) 0≦x≦1の範囲で，つねにf"(x)>f(x)
このとき0≦x≦1の範囲で，つねにf(x)>0であることを示せ．

「0≦x≦1の範囲で，つねにf(x)>0である」が満たされないと仮定して矛盾を導く．
0≦x<aの範囲でつねにf(x)>0，f(a)≦0となるようなa(0<a≦1)が存在する．
平均値の定理よりaf'(b)=f(a)-f(0)<0を満たすb(0<b<a)が存在しf'(b)<0．
同様にbf"(c)=f'(b)-f'(0)<0 を満たすc(0<c<b)が存在しf"(c)<0．
このとき，0>f"(c)>f(c)となるが，c<aよりf(c)>0なので矛盾．