k89ksb2 - 大学入試数学過去問

座標平面において，x座標，y座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．
四つの格子点O(0,0),A(a,b),B(a,b+1),C(0,1)を考える．ただし，a,bは正の整数で，その最大公約数は1である．
(1)平行四辺形OABCの内部(辺，頂点は含めない)に格子点はいくつあるか．
(2) (1)の格子点全体をとするとき，△(i=1,2,…,t)の面積のうちの最小値を求めよ．ただしa>1とする．

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(1)
x=n (n:整数．0<n<a)を平行四辺形OABCが切り取る線分は長さ1である．
この線分の下端が格子点(n,m)のとき，n:m=a:bつまりnb=amでa,bの最大公約数は1なのでnはaで割り切れるがこれは0<n<aに反する．
従って，この線分(端を除く)は格子点を1つだけ含む．
これより，平行四辺形OABCの内部にはa-1個の格子点が含まれる．
(2)
をとおき，とOAの交点をとおく．
(△の面積)=(△の面積)+(△の面積)=
かつi≠jとなるi,jがあると仮定する．
このとき，////OAなのでつまり．
a,bの最大公約数は1なのではaで割り切れるがこれはに反する．
これより，はiにより相異なるa-1通りの値をとる．
ここで，であり，より(k=1,2,…,a-1)のa-1通りの値しかとらないので，全てのk=1,2,…,a-1に対してとなるiが存在する．
したがって，の最小値はであり，面積の最小値は．