k89ks6

$F(x)=\frac{ax}{x+1}$ とおく．ただし，aは定数で0<a≦1である．関数の列$$\{f_n(x)\}を次によって定める．
(i) $f_1(x)=F(x)$ (ii) $f_{n+1}(x)=F(f_n(x))$ (n=1,2,3,…)
(1) $f_n(x)$ をa,x,nの式で表せ．
(2)次の条件をみたす数列 $\{b_n\}$ を一つ作れ．(aの値によって，異なる数列であってもよい．)
[条件] c>0ならば，数列 $\{b_n\cdot f_n(c)\}$ は正の数に収束する．

(1)
$A=\begin{pmatrix}a&0\\1&1\end{pmatrix}$ とおく．
$g_0(x)=x$ ， $h_0(x)=1$ ，
${g_{n+1}(x) \choose h_{n+1}(x)}=A{g_{n}(x) \choose h_{n}(x)}$ とおくと，
$f_n(x)=\frac{g_n(x)}{h_n(x)}$ となる．
$A^n$ の(1,1)(1,2)(2,2)成分はそれぞれ $a^n$ ,0,1となるので
$A^n=\begin{pmatrix}a^n&0\\a_n&1\end{pmatrix}$ とおくことができ，
$a_1=1$ ， $a_{n+1}=a\cdot a_n+1$ なので $a_n=\sum_{k=1}^na^{k-1}$ ．
これより
$f_n(x)=\frac{g_n(x)}{h_n(x)}=\frac{a^nx}{x\sum_{k=1}^na^{k-1}+1}$ ．
(2)
[1]a=1のとき
$f_n(x)=\frac{x}{nx+1}=\frac1n(1-\frac1{nx+1})$ なので，
$b_n=n$ とおけば $b_n\cdot f_n(c)=1-\frac1{nc+1}\to1$ $(n\to\infty)$ ．
[2]a<1のとき
$f_n(x)=\frac{(1-a)a^nx}{(1-a^n)x+1-a^n}$ なので
$b_n=a^{-n}$ とおけば $b_n\cdot f_n(c)=\frac{(1-a)a^nc}{(1-a^n)c+1-a^n}\to\frac{(1-a)c}{c+1}>0$ $(n\to\infty)$ ．

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最終更新：2013年09月30日 16:11

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