k90s1

2つの曲線 $y=x^3-x$ ， $y=x^2-a$ が1点Pを通り，Pにおいて共通の接線をもっている．この2つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

Pのx座標をp，Pでない共有点のx座標をqとおくと，
Pにおいて2曲線は接するので $(x^3-x)-(x^2-a)=(x-p)^2(x-q)$ ．
根と係数の関係より $2p+q=1,p^2+2pq=-1$ ．これより $(p-q)^2=(2p+q)^2-3(p^2+2pq)=4$ ．
求める面積は
$|\int_p^q(x-p)^2(x-q)\mathrm{d}x|=|[\frac{(x-p)^3}3(x-q)]_p^q-\int_p^q\frac{(x-p)^3}3\mathrm{d}x|=|[\frac{(x-p)^4}{12}]_p^q|=\frac{(q-p)^4}{12}=\frac43$ ．

「k90s1」をウィキ内検索

最終更新：2013年09月30日 19:40

大学入試数学過去問

メニュー

リンク

他のサービス

更新履歴

k90s1