三角形ABCにおいて，∠B=60°，Bの対辺の長さbは整数，他の2辺の長さa,cはいずれも素数である．このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ．
a≦cとする．
余弦定理より
．
変形して(b+a-c)(b-a+c)=ac．
a,cが素数なので右辺の約数は1,a,c,acである．
三角不等式とa≦cより0<b+a-c≦b-a+cであるから，
a,cが素数であることに注意すると(b+a-c,b-a+c)=(1,ac),(a,c)のいずれかとなる．
(i)b+a-c=1，b-a+c=acのとき
両辺引いて2(c-a)=ac-1より(a-2)(c+2)=5．このときa=c=3となるが，b+3-3=1かつb-3+3=3・3をともに満たすbは存在せず不適．
(ii)b+a-c=a，b-a+c=cのとき
b-c=0かつb-a=0なのでa=b=cとなり，このとき三角形ABCは正三角形となる．
最終更新：2013年09月30日 20:34
