大学入試数学過去問
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k90s4

半径1,1-2rの同心円の間に半径rの円がn個，互いに交わらずに入っているという状態を考える．n(≧2)を固定した上で，rを変化させる．
(1)rは0<r\leq\frac{\sin\frac{\pi}n}{1+\sin{\pi}n}の範囲になければならないことを示せ．
(2)これらn+2個の円の面積の総和が最小となるrの値を求めよ．
(1)
rは半径なのでr>0．
同心円の中心をO，ある半径rの円(Cとおく)の中心とO'とおく．
Oを通るCの接線は2本あるが，これらの接点をP,Qとおく．
n個の円が互いに交わらない条件は，∠PO'Q≦\frac{2\pi}nすなわち∠PO'O<\frac{\pi}n．
OO'=1-r，OP=rなので，\frac{r}{1-r}=\frac{OP}{OO&#039;}=\sin∠PO&#039;O\leq\sin\frac{\pi}n．
これを整理するとr\leq\frac{\sin\frac{\pi}n}{1+\sin{\pi}n}．
(2)
n+2個の円の面積の総和は\pi1^2+\pi(1-2r)^2+n\pi r^2=\pi((n+4)r^2-2r+2)=\pi((n+4)(r-\frac1{n+4})^2+2-\frac1{n+4})．
ここで，\frac1{n+4}-\frac{\sin\frac{\pi}n}{1+\sin{\pi}n}=\frac{(1+\sin{\pi}n)-(n+4)\sin\frac{\pi}n}{(n+4)(1+\sin{\pi}n)}であり，
(分子)=1-({n+3})\sin\frac{\pi}n．
f(n)=\frac1{n+3}-\sin\frac{\pi}nとおくと
f(2)=\frac15-1&lt;0であり，
f&#039;(n)=-\frac1{(n+3)^2}+\pi\cos\frac{\pi}nよりn≧3のときf&#039;(n)&gt;-\frac1{3+3}^2+\pi\cos\frac{\pi}3&gt;0，
\lim_{n\to\infty}(n+3)f(n)=1-\lim_{n\to\infty}(n+3)\sin\frac{\pi}n=1-\pi&lt;0であるから，f(n)<0．
これより，\frac1{n+4}&lt;\frac{\sin\frac{\pi}n}{1+\sin{\pi}n}であるから，面積の総和が最小となるrの値は\frac1{n+4}.
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最終更新：2013年09月30日 23:04