k90s5 - 大学入試数学過去問

正N角形の頂点に0,1,…,N-1と時計まわりに番号がつけてある．頂点0を出発点とし，サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計回りに移動し，着いた頂点の番号をXとする．次にもう一度サイコロを投げて出た目の数だけ，頂点Xから時計回りに移動し，着いた頂点の番号をYとする．このようにして定めた確率変数X,Yについて
(1)N=5,6のそれぞれのばあいについて，XとYは互いに独立か．
(2)X,Yが互いに独立となるN(N≧3)をすべて求めよ．
ただし確率変数X,Yが互いに独立であるとは，X=iとなる確率P(X=i)とX=iかつY=jとなる確率P(X=i,Y=j)との間に，次の等式(*)が任意のi,j(0≦i,j≦N-1)について成り立つことである．
(*) P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)

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i,jに対し，k(i,j)をk(i,j)≡j-i (mod N)，0≦k(i,j)≦N-1となるようにとる．以下，k(i,j)を単にkと書く．
このとき，P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(X=k)であるから，
X,Yが互いに独立なことは，任意のi,j(0≦i,j≦N-1)についてP(X=i)=0かP(X=k)=P(Y=j)のいずれかが成立することと同値である．
(1)
N≦6のとき，0≦i≦N-1に対しP(X=i)>0であるから，
X,Yが互いに独立⇔任意のk,jに対しP(X=k)=P(Y=j)
このとき，P(X=k)はkによらないが，
逆にP(X=k)がkによらないとすると，j>0のとき

なのでP(Y=j)=P(Y=0)となりjによらない．
ここでより任意のk,jに対しP(X=k)=P(Y=j)となる．
つまり，任意のk,jに対しP(X=k)=P(Y=j)⇔P(X=k)はkによらない．
N=5のとき，よりXとYは独立でない．
N=6のとき，よりXとYは独立．
(2)
(i)N≦6のとき
(1)の議論よりN=3のとき独立，N=4のとき独立でない．
(ii)7<N のとき
i=6，j=12-N (N≦12)，12 (N>12)の場合を考える．このときk=6．P(X=6)>0より，P(X=6)=P(Y=j)が成立するかどうか考えればよい．
Y=jとなるのは，N≦10のとき出目が(6,6)(1,11-N)…(11-N,1)の12-N通りだから．
また，N≧11のとき出目が(6,6)の1通りだから
従って独立でない．

(1),(i),(ii)より独立となるNは3,6．