大学入試数学過去問
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k90s6

円C:x^2+y^2=1を内部に含む楕円D:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)がある．
D上の1点P(0,b)からCに1つの接線をひき，その延長が再びDと交わる点をQとする．
QからCにPQとは異なる接線をひき，その延長が再びDと交わる点をRとする．RからCにQRと異なる接線をひき，その延長がDと再び交わる点をSとすると，S=Pとなった．このときaをbの関数として表せ．
QとRはPからCに引いた2接線とDの交点なので，y軸について対称．
これよりQRはx軸に平行なので，Qのy座標は-1となる．
Qのx座標をqとおくと，QはD上にあるので\frac{q^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1．
これよりa=\frac{|q|b}{\sqrt{b^2-1}}…①．
PQの長さをrとおくと，r^2=q^2+(b+1)^2…②．
△PQRの面積Sは，QRを底辺とみるとS=\frac{2|q|\cdot(b+1)}2=|q|(b+1)…③．
また，内接円Cの半径が1なのでS=\frac{2|q|+2r}{2}={|q|+r}…④．
③と④よりr=b|q|，これを②に代入してb^2q^2=q^2+(b+1)^2より|q|=\sqrt{\frac{b+1}{b-1}}．
これを①に代入してa=\frac{b}{b-1}．
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最終更新：2014年01月24日 14:01