曲線y=x^4-6x^2に点(a,b)を通る4つの接線が引けるのは，(a,b)がどのような範囲にあるときか．図示せよ．
とおく．
より変曲点のx座標は±1．
接点のx座標がt(>1)である接線と直線x=aの交点のy座標は
であり，これをg(t)とおく．
となる．
ここで，曲線y=f(x)のx>1の部分に引ける接線の数を考える．
t>1より
であるから，
a>1のとき
| t |
1 |
… |
a |
… |
∞ |
| g'(t) |
+ |
+ |
0 |
- |
- |
| g(t) |
-8a+3 |
↗ |
f(a) |
↘ |
-∞ |
これより，g(t)=bとなるtの数はb≦-8a+3のとき1個，-8a+3<b<f(a)のとき2個，b=f(a)のとき1個，f(a)<bのとき0個．
また，a≦1のとき，
| t |
1 |
… |
∞ |
| g'(t) |
|
- |
- |
| g(t) |
-8a+3 |
↘ |
-∞ |
なので，g(t)=bとなるtの数は，b≦-8a+3のとき1個，-8a+3<bのとき0個．
これらのtの数は(a,b)から引ける接線の数に等しい．
同様に，曲線y=f(x)のx<-1の部分に引ける接線の数も求まる．
また，曲線y=f(x)の-1≦x≦1の部分に引ける接線の数は，
なので，
a≧1のとき
| t |
-1 |
… |
1 |
| g'(t) |
0 |
- |
0 |
| g(t) |
8a+3 |
↘ |
-8a+3 |
従って，-8a+3≦b≦8a+3のとき1本，そうでないときに0本．
0≦a<1のとき
| t |
-1 |
… |
a |
… |
1 |
| g'(t) |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
| g(t) |
8a+3 |
↘ |
f(a) |
↗ |
-8a+3 |
従って，b<f(a)のとき0本，b=f(a)のとき1本，f(a)<b≦-8a+3のとき2本，-8a+3<b≦8a+3のとき1本，8a+3<bのとき0本．
曲線の部分はy軸に関して対称なので，a<0のときも同様となる．
以上をまとめると，求める領域は
|a|<1のときb<8a+3かつb<-8a+3かつb>f(a)，|a|≧1のとき0>(8a+3-b)(-8a+3-b)かつb<f(a)．
(図省略)
最終更新：2013年10月02日 06:04
