k90ksa2

$f(x)=\frac{a-\cos x}{x^2}$ が $0<x\leq\frac{\pi}2$ の範囲で増加関数となるような定数aのうち最大のものを求めよ．

$f'(x)=-\frac{2}{x^3}(a-\cos x-\frac{x\sin x}2)$ であり，
これが非負である必要十分条件は $a\leq \cos x+\frac{x\sin x}2$ ．この右辺をg(x)とおく．
$g'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}2$ ， $g''(x)=\frac{-x\sin x}2$ ．
$0<x\leq\frac{\pi}2$ の範囲で $g&#039;&#039;(x)&lt; 0$ より $g&#039;(x)&lt;g(0)=0$ なので $g(x)\geq g(\frac{\pi}2)=\frac{\pi}4$ ．
求めるaはg(x)の最小値に等しく， $\frac{\pi}4$ ．

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最終更新：2013年10月02日 06:23

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