大学入試数学過去問
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11s1

座標平面において, 点P(0, 1) を中心とする半径1 の円をC とする。a を0＜a＜1
を満たす実数とし, 直線y = a( x +1)とCとの交点をQ, Rとする。
(1) △PQRの面積S( a )を求めよ。
(2) aが0＜a＜1の範囲を動くとき, S( a )が最大となるaを求めよ。
(1)
直線と点Pの距離dはd=\frac{1-a}{\sqrt{a^2+1}}.
Cが切り取る線分の長さは2\sqrt{1-d^2}なので
S(a)=d\sqrt{1-d^2}=\frac{(1-a)\sqrt{2a}}{a^2+1}
(2)
0<a<1のとき0<d<1で，相加相乗平均の関係より
S(a) = \sqrt{d^2(1-d^2)} \leq \frac{1}{2}
であり，等号成立はd^2=1-d^2つまりd^2=\frac{1}{2}のとき．
このとき，a^2-4a+1=0よりa=2\pm\sqrt{3}．
0<a<1より求めるaはa=2-\sqrt{3}.
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最終更新：2011年10月20日 12:25